Exercício 3. Considere os pontos A=(-7,6,13), B=(8,-4,-7) e C=(-1,2,5).
(a) Mostre que esses pontos são colineares.
(b) Quando três pontos distintos são colineares, sabemos que um e apenas um deles está entre os outros dois. Determine qual dos pontos A, B ou C está entre os outros dois.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3:
A=(-7,6,13),;B=(8,-4,-7),;C=(-1,2,5),
e pede (a) mostrar que são colineares e (b) dizer qual está entre os outros dois. Vamos usar vetores para verificar paralelismo (colinearidade) e depois parametrizar o segmento.

Passo 2

Calculemos os vetores AB e AC:
AB=B - A = (8 - (-7),,-4 - 6,,-7 - 13) = (15,,-10,,-20),
AC=C - A = (-1 - (-7),,2 - 6,,5 - 13) = (6,,-4,,-8)

Passo 3

Observamos que
AC = tfrac25,AB,
pois tfrac615=tfrac-4-10=tfrac-8-20=tfrac25. Como AB e AC são paralelos e não nulos, os pontos A,B,C são colineares.

Passo 4

Para saber qual ponto está entre os outros dois, escrevemos
C = A + t,(B - A)Longrightarrow t = tfrac25
Como tin(0,1), o ponto C fica no segmento aberto de reta com extremidades em A e B. Logo C está entre A e B.

Resposta

(a) Os pontos são colineares.
(b) C é o ponto que está entre A e B.

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