Encontre a interseção entre o plano e a reta:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde um plano e uma reta se cruzam. O plano é dado pela equação $ x + y - 9z = 9 $ e a reta é representada por $ \mathbf{r} = \langle 9, 0, 9 \rangle + t\langle 3, 0, 3 \rangle $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como substituição e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta. Ela está na forma paramétrica: $ \mathbf{r} = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + t\langle a, b, c \rangle $. Aqui, $ x_0 = 9 $, $ y_0 = 0 $, $ z_0 = 9 $ e a direção da reta é dada por $ \langle 3, 0, 3 \rangle $. Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado substituindo diferentes valores de $ t $.
Passo 3
Agora, vamos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $:
Essas são as coordenadas de qualquer ponto na reta para um valor específico de $ t $.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o ponto onde essa reta intersecta o plano $ x + y - 9z = 9 $. Para isso, vamos substituir as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação do plano:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Passo 6
Vamos resolver para $ t $:
Passo 7
Com o valor de $ t $ encontrado, vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
A interseção entre o plano e a reta ocorre no ponto $ \left(-\dfrac{9}{8},\ 0,\ -\dfrac{9}{8}\right) $.