Encontre a interseção entre o plano e a reta:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar onde o plano $ \mathcal{P}: y=0 $ intercepta a reta definida por $ \mathbf{r} = \langle 0,-1,0 \rangle + t\langle 0,1,0 \rangle $. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar o ponto de interseção entre uma reta e um plano. Para resolver, vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta:
Aqui, $ t $ é o parâmetro que controla a posição ao longo da reta.
Passo 3
O plano $ \mathcal{P} $ é dado pela equação $ y = 0 $. Para encontrar a interseção, substituímos a expressão de $ y $ da reta na equação do plano:
Resolvendo para $ t $:
Passo 4
Agora que sabemos que $ t = 1 $, substituímos esse valor de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
O ponto de interseção entre o plano e a reta é $ (0,\ 0,\ 0) $.