Seja r a reta no \mathbb{R}^{3} cuja equação paramétrica é \lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right). Encontre a equação geral do plano do \mathbb{R}^{3} que é perpendicular a reta r e que contém o ponto \left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a equação geral do plano em \mathbb{R}^{3} que é perpendicular à reta r e que contém o ponto \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Informações dadas no enunciado:
r:\\ \lambda\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},
ou seja:
  • o vetor diretor da reta r é \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} (peguei isso da equação paramétrica da reta);
  • a reta passa pelo ponto \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} (peguei isso do termo independente da equação paramétrica);
  • o plano solicitado deve conter o ponto \displaystyle \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito pela equação
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
onde:
  • \displaystyle \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor do plano);
  • \displaystyle (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido do plano (aqui o ponto dado);
  • (x,y,z) representam as coordenadas de um ponto genérico do plano.
Explicando a fórmula: o produto escalar entre o vetor normal \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} e o vetor \begin{pmatrix}x-x_0\y-y_0\z-z_0\end{pmatrix} que vai do ponto do plano até um ponto genérico (x,y,z) deve ser zero, porque esses vetores são perpendiculares. O produto escalar é exatamente a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0).

Passo 3

Relação entre reta e plano: se o plano é perpendicular à reta r, então o vetor normal do plano pode ser escolhido paralelo ao vetor diretor da reta. Em palavras: a direção da reta indica a direção em que o plano é “perpendicular”, logo essa direção é um vetor normal ao plano.
Portanto podemos tomar o vetor normal do plano como
\displaystyle \mathbf{n}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
que é exatamente o vetor diretor da reta r (peguei esse vetor da equação paramétrica da reta).

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2 com \mathbf{n}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e o ponto dado \displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(2,2,2):
Escrevemos
1\cdot(x-2)+0\cdot(y-2)+1\cdot(z-2)=0.
Agora simplifico termo a termo:
(x-2)+(z-2)=0.
Somando os termos constantes,
x+z-4=0.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: a equação obtida é
x+z-4=0.
Posso verificar que o ponto pedido \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} está no plano substituindo: 2+2-4=0, ok. Além disso, o vetor diretor da reta \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} é paralelo ao vetor normal do plano escolhido, então o plano é realmente perpendicular à reta.

Resposta

x+z-4=0

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