Seja r a reta no \mathbb{R}^{3} cuja equação paramétrica é \lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right). Encontre a equação geral do plano do \mathbb{R}^{3} que é perpendicular a reta r e que contém o ponto \left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 2\end{array}\right).
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a equação geral do plano em \mathbb{R}^{3} que é perpendicular à reta r e que contém o ponto \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
o vetor diretor da reta r é \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} (peguei isso da equação paramétrica da reta);
a reta passa pelo ponto \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} (peguei isso do termo independente da equação paramétrica);
o plano solicitado deve conter o ponto \displaystyle \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito pela equação
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
onde:
\displaystyle \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular a todo vetor do plano);
\displaystyle (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido do plano (aqui o ponto dado);
(x,y,z) representam as coordenadas de um ponto genérico do plano.
Explicando a fórmula: o produto escalar entre o vetor normal \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} e o vetor \begin{pmatrix}x-x_0\y-y_0\z-z_0\end{pmatrix} que vai do ponto do plano até um ponto genérico (x,y,z) deve ser zero, porque esses vetores são perpendiculares. O produto escalar é exatamente a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0).
Passo 3
Relação entre reta e plano: se o plano é perpendicular à reta r, então o vetor normal do plano pode ser escolhido paralelo ao vetor diretor da reta. Em palavras: a direção da reta indica a direção em que o plano é “perpendicular”, logo essa direção é um vetor normal ao plano.
Portanto podemos tomar o vetor normal do plano como
que é exatamente o vetor diretor da reta r (peguei esse vetor da equação paramétrica da reta).
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo 2 com \mathbf{n}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} e o ponto dado \displaystyle (x_0,y_0,z_0)=(2,2,2):
Escrevemos
1\cdot(x-2)+0\cdot(y-2)+1\cdot(z-2)=0.
Agora simplifico termo a termo:
(x-2)+(z-2)=0.
Somando os termos constantes,
x+z-4=0.
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: a equação obtida é
x+z-4=0.
Posso verificar que o ponto pedido \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix} está no plano substituindo: 2+2-4=0, ok. Além disso, o vetor diretor da reta \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} é paralelo ao vetor normal do plano escolhido, então o plano é realmente perpendicular à reta.