Encontre um intervalo [a, b] de comprimento 1 que contenha uma raiz da equação e^{x-1}+\ln (x)=2.
a) Use o Teorema de Bolzano para justificar a existência da raiz no intervalo encontrado.
b) A equação e^{x-1}+\ln (x)-2=0 possui apenas uma raiz real? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar um intervalo [a,b] de comprimento 1 que contenha uma raiz da equação e^{x-1}+\ln(x)=2.
  • (a) Justificar a existência dessa raiz usando o Teorema de Bolzano.
  • (b) Dizer se a equação e^{x-1}+\ln(x)-2=0 possui apenas uma raiz real e justificar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação pode ser escrita como f(x)=e^{x-1}+\ln(x)-2=0.
  • O domínio natural para f é x>0 (porque \ln(x) só está definida para x>0).
  • Precisamos de um intervalo de comprimento 1; isto é, b-a=1.

Passo 2

Definimos a função cuja raiz buscamos:
f(x)=e^{x-1}+\ln(x)-2.
Explicando a propriedade necessária para aplicar o Teorema de Bolzano: o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) diz que se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (isto é, f(a)\cdot f(b)<0), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Devemos então escolher um intervalo [a,b] de comprimento 1 contido no domínio (0,\infty) onde possamos verificar f(a)\cdot f(b)<0. Além disso, para usar Bolzano precisamos que f seja contínua em [a,b]; isso vale porque e^{x-1} e \ln(x) são contínuas em (0,\infty), logo f é contínua em qualquer subintervalo fechado contido em (0,\infty).

Passo 3

Escolhemos o intervalo candidato [1,2]. Primeiro verifico que [1,2]\subset(0,\infty), portanto f é contínua em [1,2].
Agora calculo f(1) e f(2) passo a passo.
Cálculo de f(1):
f(1)=e^{1-1}+\ln(1)-2=e^{0}+0-2=1-2=-1.
Cálculo de f(2):
f(2)=e^{2-1}+\ln(2)-2=e^{1}+\ln(2)-2=e+\ln(2)-2.
Para ver o sinal de f(2) posso estimar numericamente: e\approx 2{,}718 e \ln(2)\approx 0{,}693, então
f(2)\approx 2{,}718+0{,}693-2=1{,}411>0.
Também posso argumentar sem aproximação grosseira: e>2 e \ln(2)>0, logo e+\ln(2)-2>0. Assim f(1)=-1<0 e f(2)>0.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bolzano: f é contínua em [1,2] e f(1)\cdot f(2)<0. Portanto existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Assim o intervalo [1,2] (que tem comprimento 2-1=1) contém uma raiz da equação dada. Isso responde a parte (a): o intervalo procurado é [1,2] e a existência da raiz é garantida por Bolzano.

Passo 5

Agora tratamos a unicidade da raiz (parte b). Vou mostrar que f é estritamente crescente em (0,\infty); isso garante que haja no máximo uma raiz.
Calculo a derivada de f. Usando regras básicas de derivação:
  • A derivada de e^{x-1} em relação a x é e^{x-1} (porque a derivada de x-1 é 1 e d(e^{u})/dx=e^{u}u').
  • A derivada de \ln(x) é 1/x.
Portanto, para x>0,
f'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}.

Passo 6

Observação sobre o sinal de f'(x): para todo x>0 temos e^{x-1}>0 e \dfrac{1}{x}>0. Assim a soma é positiva:
f'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}>0\quad\text{para todo }x>0.
Logo f é estritamente crescente em (0,\infty). Uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; em particular, não pode ter duas raízes distintas (se tivesse r_1<r_2 com f(r_1)=f(r_2)=0, a monotonicidade estrita imporia f(r_1)<f(r_2), contradição). Portanto f tem no máximo uma raiz em (0,\infty).

Passo 7

Concluímos combinando os resultados: já mostramos que existe pelo menos uma raiz em (1,2) (Passo 4) e que existe no máximo uma raiz em (0,\infty) (Passo 6). Logo a equação tem exatamente uma raiz real.

Resposta

[1,2]
Sim, a equação possui exatamente uma raiz real.

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