Encontre um intervalo
de comprimento 1 que contenha uma raiz da equação
.
a) Use o Teorema de Bolzano para justificar a existência da raiz no intervalo encontrado.
b) A equação
possui apenas uma raiz real? Justifique sua resposta.
a) Use o Teorema de Bolzano para justificar a existência da raiz no intervalo encontrado.
b) A equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar um intervalo
de comprimento que contenha uma raiz da equação . - (a) Justificar a existência dessa raiz usando o Teorema de Bolzano.
- (b) Dizer se a equação
possui apenas uma raiz real e justificar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação pode ser escrita como
. - O domínio natural para
é (porque só está definida para ). - Precisamos de um intervalo de comprimento
; isto é, .
Passo 2
Definimos a função cuja raiz buscamos:
Explicando a propriedade necessária para aplicar o Teorema de Bolzano: o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) diz que se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe
tal que
.
Devemos então escolher um intervalo de comprimento
contido no domínio
onde possamos verificar
. Além disso, para usar Bolzano precisamos que
seja contínua em
; isso vale porque
e
são contínuas em
, logo
é contínua em qualquer subintervalo fechado contido em
.
Devemos então escolher um intervalo
Passo 3
Escolhemos o intervalo candidato
. Primeiro verifico que
, portanto
é contínua em
.
Agora calculo
e
passo a passo.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Para ver o sinal de
posso estimar numericamente:
e
, então
Também posso argumentar sem aproximação grosseira:
e
, logo
. Assim
e
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Bolzano:
é contínua em
e
. Portanto existe
tal que
. Assim o intervalo
(que tem comprimento
) contém uma raiz da equação dada. Isso responde a parte (a): o intervalo procurado é
e a existência da raiz é garantida por Bolzano.
Passo 5
Agora tratamos a unicidade da raiz (parte b). Vou mostrar que
é estritamente crescente em
; isso garante que haja no máximo uma raiz.
Calculo a derivada de
. Usando regras básicas de derivação:
- A derivada de
em relação a é (porque a derivada de é e ). - A derivada de
é .
Portanto, para
,
Passo 6
Observação sobre o sinal de
: para todo
temos
e
. Assim a soma é positiva:
Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; em particular, não pode ter duas raízes distintas (se tivesse
com
, a monotonicidade estrita imporia
, contradição). Portanto
tem no máximo uma raiz em
.
Passo 7
Concluímos combinando os resultados: já mostramos que existe pelo menos uma raiz em
(Passo 4) e que existe no máximo uma raiz em
(Passo 6). Logo a equação tem exatamente uma raiz real.
Resposta
Sim, a equação possui exatamente uma raiz real.