Analise a função
.
a) Sem usar ferramentas gráficas, encontre três intervalos de comprimento 1 que contenham as três raízes reais da função.
b) Explique por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz no intervalo
.
a) Sem usar ferramentas gráficas, encontre três intervalos de comprimento 1 que contenham as três raízes reais da função.
b) Explique por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz no intervalo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar três intervalos de comprimento
que contenham as três raízes reais da função , sem usar gráficos. - (b) Explicar por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz no intervalo
.
Informações dadas e úteis:
Devemos trabalhar apenas com argumentos analíticos (valores e teoremas), sem ferramentas gráficas. Nada mais é pedido explicitamente.
Passo 2
Primeiro, um lembrete didático: polinômios são funções contínuas em toda a reta. Isso significa que, para todo intervalo
, a função
atinge todos os valores intermedios entre
e
.
O Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário, versão para raízes) diz o seguinte, de forma prática: se
é contínua em
e
(ou seja,
e
têm sinais opostos), então existe pelo menos um
tal que
. Em palavras: mudança de sinal nos extremos implica pelo menos uma raiz no intervalo aberto.
Observação importante (didática): Bolzano garante existência de raiz quando há mudança de sinal. Porém, se
(mesmo sinal nos extremos), o teorema NÃO diz que não há raiz — ele fica simplesmente inconclusivo. Veremos um exemplo disso depois.
Passo 3
Vamos avaliar
em pontos inteiros para procurar mudanças de sinal entre inteiros consecutivos (cada intervalo entre dois inteiros tem comprimento
).
Calculemos passo a passo:
Agora observamos sinais em extremos de intervalos inteiros:
- Entre
e : e . Produto → há pelo menos uma raiz em . Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento que pode ser escolhido como . - Entre
e : e . Produto → há pelo menos uma raiz em . Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento que pode ser . - Entre
e : e . Produto → há pelo menos uma raiz em . Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento que pode ser .
Cada uma dessas conclusões é uma aplicação direta do Teorema de Bolzano, porque
é contínua (polinômio) e há mudança de sinal nos extremos.
Passo 4
Verificação rápida dos comprimentos: o comprimento de
é
; de
é
; de
é
. Portanto todos têm comprimento
e contêm, respectivamente, as três raízes reais (uma em cada intervalo aberto correspondente).
Passo 5
Agora a parte (b) — por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz em
?
-
Primeiro cálculo direto:
e . Portanto . Como o produto é negativo, há mudança de sinal entre os extremos e . Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um tal que . Ou seja: Bolzano NÃO pode ser usado para concluir que não existe raiz em ; pelo contrário, neste caso ele garante que existe raiz em . -
Explicação geral e exemplo didático: de forma geral, Bolzano apenas garante existência de raiz quando há mudança de sinal nos extremos. Se não houver mudança de sinal (isto é, se
), o teorema não afirma que não há raiz — ele fica inconclusivo. Um contraexemplo simples para mostrar que “mesmo sinal nos extremos” não implica ausência de raízes é a função no intervalo : temos e (mesmo sinal), mas existe uma raiz em (na verdade uma raiz de multiplicidade ). Assim, ausência de mudança de sinal não permite concluir que não existe raiz. Portanto, Bolzano não é ferramenta para provar ausência de raízes, apenas (às vezes) para provar existência quando há mudança de sinal.
Resposta
(a)
,
,
\n
(b) Porque e
têm sinais opostos, logo
e pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em
; de modo geral, Bolzano só garante existência quando há mudança de sinal nos extremos e não pode ser usado para provar ausência de raízes (por exemplo
em
tem
mas possui raiz em
).
(b) Porque