Analise a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1.
a) Sem usar ferramentas gráficas, encontre três intervalos de comprimento 1 que contenham as três raízes reais da função.
b) Explique por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar três intervalos de comprimento 1 que contenham as três raízes reais da função f(x)=x^{3}-3x^{2}+1, sem usar gráficos.
  2. (b) Explicar por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz no intervalo [0,2].
Informações dadas e úteis:
f(x)=x^{3}-3x^{2}+1.
Devemos trabalhar apenas com argumentos analíticos (valores e teoremas), sem ferramentas gráficas. Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Primeiro, um lembrete didático: polinômios são funções contínuas em toda a reta. Isso significa que, para todo intervalo [a,b], a função f atinge todos os valores intermedios entre f(a) e f(b).
O Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário, versão para raízes) diz o seguinte, de forma prática: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Em palavras: mudança de sinal nos extremos implica pelo menos uma raiz no intervalo aberto.
Observação importante (didática): Bolzano garante existência de raiz quando há mudança de sinal. Porém, se f(a)\cdot f(b)>0 (mesmo sinal nos extremos), o teorema NÃO diz que não há raiz — ele fica simplesmente inconclusivo. Veremos um exemplo disso depois.

Passo 3

Vamos avaliar f em pontos inteiros para procurar mudanças de sinal entre inteiros consecutivos (cada intervalo entre dois inteiros tem comprimento 1).
Calculemos passo a passo:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}+1 = -1 -3 +1 = -3.
f(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}+1 = 1.
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+1 = 1-3+1 = -1.
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+1 = 8-12+1 = -3.
f(3)=3^{3}-3\cdot3^{2}+1 = 27-27+1 = 1.
Agora observamos sinais em extremos de intervalos inteiros:
  • Entre x=-1 e x=0: f(-1)=-3<0 e f(0)=1>0. Produto f(-1)\cdot f(0)<0 → há pelo menos uma raiz em (-1,0). Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento 1 que pode ser escolhido como [-1,0].
  • Entre x=0 e x=1: f(0)=1>0 e f(1)=-1<0. Produto f(0)\cdot f(1)<0 → há pelo menos uma raiz em (0,1). Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento 1 que pode ser [0,1].
  • Entre x=2 e x=3: f(2)=-3<0 e f(3)=1>0. Produto f(2)\cdot f(3)<0 → há pelo menos uma raiz em (2,3). Assim a raiz está contida no intervalo de comprimento 1 que pode ser [2,3].
Cada uma dessas conclusões é uma aplicação direta do Teorema de Bolzano, porque f é contínua (polinômio) e há mudança de sinal nos extremos.

Passo 4

Verificação rápida dos comprimentos: o comprimento de [-1,0] é 0-(-1)=1; de [0,1] é 1-0=1; de [2,3] é 3-2=1. Portanto todos têm comprimento 1 e contêm, respectivamente, as três raízes reais (uma em cada intervalo aberto correspondente).

Passo 5

Agora a parte (b) — por que o Teorema de Bolzano não pode ser usado para concluir que não existe raiz em [0,2]?
  • Primeiro cálculo direto: f(0)=1 e f(2)=-3. Portanto f(0)\cdot f(2) = 1\cdot(-3) = -3 <0. Como o produto é negativo, há mudança de sinal entre os extremos 0 e 2. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um c\in(0,2) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja: Bolzano NÃO pode ser usado para concluir que não existe raiz em [0,2]; pelo contrário, neste caso ele garante que existe raiz em (0,2).
  • Explicação geral e exemplo didático: de forma geral, Bolzano apenas garante existência de raiz quando há mudança de sinal nos extremos. Se não houver mudança de sinal (isto é, se f(a)\cdot f(b)>0), o teorema não afirma que não há raiz — ele fica inconclusivo. Um contraexemplo simples para mostrar que “mesmo sinal nos extremos” não implica ausência de raízes é a função g(x)=(x-1)^{2} no intervalo [0,2]: temos g(0)=1>0 e g(2)=1>0 (mesmo sinal), mas existe uma raiz em x=1 (na verdade uma raiz de multiplicidade 2). Assim, ausência de mudança de sinal não permite concluir que não existe raiz. Portanto, Bolzano não é ferramenta para provar ausência de raízes, apenas (às vezes) para provar existência quando há mudança de sinal.

Resposta

(a) [-1,0], [0,1], [2,3]\n
(b) Porque f(0)=1 e f(2)=-3 têm sinais opostos, logo f(0)\cdot f(2)<0 e pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz em (0,2); de modo geral, Bolzano só garante existência quando há mudança de sinal nos extremos e não pode ser usado para provar ausência de raízes (por exemplo g(x)=(x-1)^{2} em [0,2] tem g(0)=g(2)>0 mas possui raiz em x=1).

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