Encontre um intervalo de comprimento menor do que ou igual a 0.25 que contenha uma raíz de f(x)=x^3+2 x^2-x-1.

Passo 1

O enunciado pede para achar um intervalo de comprimento menor ou igual a 0,25 que contenha uma raiz da função f(x)=x^3+2x^2-x-1. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se f é contínua num intervalo e assume sinais opostos em suas extremidades, então há pelo menos uma raiz ali. Em seguida aplicamos o método da bissecção para reduzir o tamanho do intervalo até no máximo 0,25.

Passo 2

Verificamos sinais em x=0 e x=1.
f(0) = -1
f(1) = 1
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos e f é polinomial (logo contínua), existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Aplicamos a bissecção no intervalo (0,1). Primeiro ponto médio:
x1 = 0,5
Calculamos
f(0,5) = (0,5)^3 + 2(0,5)^2 - 0,5 - 1 = -0,875
Como f(0,5)<0 e f(1)>0, a raiz está em (0,5,,1), cujo comprimento é 0,5.

Passo 4

Repetimos a bissecção em (0,5,1). Novo ponto médio:
x2 = 0,75
Calculamos
f(0,75) = (0,75)^3 + 2(0,75)^2 - 0,75 - 1 = -0,203125
Como f(0,75)<0 e f(1)>0, a raiz está em (0,75,,1). Esse intervalo tem comprimento
1 - 0,75 = 0,25 <= 0,25

Resposta

O intervalo [0,75,,1] contém uma raiz de f e tem comprimento 0,25.

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