Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(a) f(x)=x, -pi<x<pi

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f de período 2pi obtida pela extensão periódica de
f(x)=x, -pi < x < pi
Precisamos ( 1) esboçar seu gráfico em [-2pi,2pi], ( 2) encontrar os limites laterais em x=0 e em x=pmpi, e ( 3) determinar a série de Fourier de f nesse período. O conteúdo usado será extensão periódica, limites de funções descontínuas e cálculo de coeficientes de Fourier para função ímpar.

Passo 2

Esboço do gráfico em [-2pi,2pi]:
1. Em -pi<x<pi, f(x)=x, é a reta que passa por (-pi,-pi) e (pi,pi).
2. Como f é 2pi-periódica, para cada intervalo de comprimento 2pi a cópia se repete sem mudança de forma.
3. Assim, em [pi,3pi] o gráfico vale f(x)=x-2pi, e em [-3pi,-pi] vale f(x)=x+2pi.
No intervalo pedido [-2pi,2pi] teremos dois triângulos: de -2pi a 0 a reta sobe de (-2pi,0) a (-pi,-pi) e depois a reta de (-pi,-pi) a (0,0); e de 0 a 2pi algo análogo.

Passo 3

Limites laterais:
  • Em x=0, não há descontinuidade na extensão; tanto
limxto0^-f(x)=0, limxto0^+f(x)=0
  • Em x=pi, à esquerda f(x)=x
limxtopi^-f(x)=pi,
e à direita estamos no cópia seguinte, onde f(x)=x-2pi, logo
limxtopi^+f(x)=pi-2pi=-pi
  • Em x=-pi, à direita f(x)=x
limxto(-pi)^+f(x)=-pi,
e à esquerda, na cópia anterior, f(x)=x+2pi produz
limxto(-pi)^-= -pi+2pi=pi

Passo 4

Cálculo da série de Fourier em [-pi,pi]. Como f é ímpar, a0=0 e todos os an=0. Só restam os bn:
bn=1piintegral-pi^pixsin(nx),dx
O integrando é par (produto de ímpar por ímpar), então
bn=2piintegral0^pixsin(nx),dx
Fazendo integração por partes, com u=x, dv=sin(nx),dx, obtém-se
integral0^pixsin(nx),dx =-xcos(nx)n|0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx =-pi(-1)^nn
Logo
bn=2pil(-pi(-1)^nnr) =-2(-1)^nn =2(-1)^n+1n

Resposta

A série de Fourier de f é
f(x)=2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx),
válida para todo x, com convergência pontual para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.

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