Suponha que a função seja -periódica. Esboce seu gráfico no intervalo , calcule seus limites laterais nos pontos e , por fim, encontre sua série de Fourier:
(a)
Passo 1
O enunciado diz que temos a função de período obtida pela extensão periódica de
Precisamos () esboçar seu gráfico em , () encontrar os limites laterais em e em , e () determinar a série de Fourier de nesse período. O conteúdo usado será extensão periódica, limites de funções descontínuas e cálculo de coeficientes de Fourier para função ímpar.
Passo 2
Esboço do gráfico em : . Em , , é a reta que passa por e . . Como é -periódica, para cada intervalo de comprimento a cópia se repete sem mudança de forma. . Assim, em o gráfico vale , e em vale .
No intervalo pedido teremos dois triângulos: de a a reta sobe de a e depois a reta de a ; e de a algo análogo.
Passo 3
Limites laterais:
Em , não há descontinuidade na extensão; tanto
Em , à esquerda dá
e à direita estamos no cópia seguinte, onde , logo
Em , à direita dá
e à esquerda, na cópia anterior, produz
Passo 4
Cálculo da série de Fourier em . Como é ímpar, e todos os . Só restam os :
O integrando é par (produto de ímpar por ímpar), então
Fazendo integração por partes, com , , obtém-se
Logo
bn=2pil(-pi(-1)^nnr) =-2(-1)^nn =2(-1)^n+1n
Resposta
A série de Fourier de f é
f(x)=2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx),
válida para todo x, com convergência pontual para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.