Sejam
um intervalo e
uma função.
Suponha
aberto e
derivável em
. Mostre que se a função derivada
for limitada, então
é uma função lipschitziana, em particular,
é uniformemente contínua;
Suponha
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma função
em um intervalo aberto
, diferenciável em todo
, e cuja derivada
é limitada. Temos que mostrar que isso implica que
é lipschitziana (isto é, existe constante
tal que
para todos
) e, em particular, uniformemente contínua.
Passo 2
Como
é limitada em
, existe um número real
tal que, para todo
,
Passo 3
Dado
, pelo Teorema do Valor Médio existe
entre
e
tal que
Tomando valor absoluto e usando o limite de
em
, segue
Passo 4
A desigualdade
mostra que
é lipschitziana com constante
. Como toda função lipschitziana é uniformemente contínua, concluímos que
é uniformemente contínua em
.
Resposta
A função
satisfaz
logo é lipschitziana com constante
e, consequentemente, uniformemente contínua.