Sejam I subset R um intervalo e f: I longrightarrow R uma função.
Suponha I aberto e f derivável em I. Mostre que se a função derivada f^prime for limitada, então f é uma função lipschitziana, em particular, f é uniformemente contínua;

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma função fcolon ItoR em um intervalo aberto IsubsetR, diferenciável em todo I, e cuja derivada f' é limitada. Temos que mostrar que isso implica que f é lipschitziana (isto é, existe constante L tal que lvert f(x)-f(y)rvert<= Llvert x-yrvert para todos x,yin I) e, em particular, uniformemente contínua.

Passo 2

Como f' é limitada em I, existe um número real M>=0 tal que, para todo tin I,
|f'(t)| <= M

Passo 3

Dado x,yin I, pelo Teorema do Valor Médio existe c entre x e y tal que
f(x)-f(y) ;=; f'(c),(x-y)
Tomando valor absoluto e usando o limite de f' em c, segue
|f(x)-f(y)| ;=; |f'(c)|,|x-y| ;<=; M,|x-y|

Passo 4

A desigualdade
|f(x)-f(y)| <= M,|x-y|
mostra que f é lipschitziana com constante L=M. Como toda função lipschitziana é uniformemente contínua, concluímos que f é uniformemente contínua em I.

Resposta

A função f satisfaz
|f(x)-f(y)|<= M,|x-y|forall,x,yin I,
logo é lipschitziana com constante L=M e, consequentemente, uniformemente contínua.

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