A famosa sequüência de Fibonacci é definida pela recorrência ak+1=ak+ak-1 com a1=a2=1.
Supondo que lim k infty rk=tau, prove que
tau=12(1+raiz5)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor do limite τ=limₖ→∞ rₖ, onde rₖ=aₖ₊₁/aₖ e (aₖ) é a sequência de Fibonacci dada por a₁=a₂=1 e aₖ₊₁=aₖ+aₖ₋₁. O conteúdo envolve limites de sequência e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Definimos rₖ como a razão dos termos consecutivos da sequência de Fibonacci: rₖ= ak+1ak. Queremos usar a recorrência de Fibonacci para obter uma relação de recorrência em rₖ.

Passo 3

Da definição de Fibonacci a_{k+1}=a_k+a_{k-1} temos
rk=ak+1ak=ak+ak-1ak=1+ak-1ak=1+1rk-1

Passo 4

Como supomos que rₖ converge para τ, tomamos limite em ambos os lados da relação rₖ=1+1/r_{k-1}:
limktoinftyrk=limktoinftyl(1+1rk-1r)Rightarrow τ=1+1τ

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por τ obtemos a equação quadrática
τ^2=τ+1Leftrightarrow τ^2-τ-1=0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara, temos
τ=1pmraiz1+42=1pmraiz52

Passo 7

Como as razões rₖ são positivas, escolhemos a raiz positiva, logo τ= 1+raiz52.

Resposta

τ=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

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