A famosa sequüência de Fibonacci é definida pela recorrência
.
Supondo que
, prove que
Supondo que
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor do limite τ=limₖ→∞ rₖ, onde rₖ=aₖ₊₁/aₖ e (aₖ) é a sequência de Fibonacci dada por a₁=a₂=1 e aₖ₊₁=aₖ+aₖ₋₁. O conteúdo envolve limites de sequência e resolução de equação quadrática.
Passo 2
Definimos rₖ como a razão dos termos consecutivos da sequência de Fibonacci: rₖ=
. Queremos usar a recorrência de Fibonacci para obter uma relação de recorrência em rₖ.
Passo 3
Da definição de Fibonacci a_{k+1}=a_k+a_{k-1} temos
Passo 4
Como supomos que rₖ converge para τ, tomamos limite em ambos os lados da relação rₖ=1+1/r_{k-1}:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por τ obtemos a equação quadrática
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática pelo fórmula de Bhaskara, temos
Passo 7
Como as razões rₖ são positivas, escolhemos a raiz positiva, logo τ=
.
Resposta
τ=\frac{1+\sqrt{5}}{2}