Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
33) sumk=0^infty x^kln (k+1)

Passo 1

Estamos lidando com a série de potência centrada em zero
sumk=0^inftyx^kln(k+1),
e queremos encontrar o raio de convergência R (usando o teste da raiz ou da razão) e depois estudar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz de Cauchy: seja
ak=1ln(k+1)
Calculamos
limsupktoinftyraiz[k]|ak| =limktoinftyl(ln(k+1)r)^-1/k
Como ln(k+1)toinfty e limktoinftyA^1/k=1 para qualquer A>0, obtemos
limsupktoinftyraiz[k]|ak|=1
Logo o raio de convergência é
R=11=1,
isto é, a série converge absolutamente para |x|<1.

Passo 3

No extremo x=1 a série fica
sumk=0^infty1ln(k+1)
Para grandes k, ln(k+1)simln k e podemos usar o teste da integral:
integral2^inftydxln x=infty,
portanto
sumk=2^infty1ln k
diverge. Concluímos que em x=1 a série diverge.

Passo 4

No extremo x=-1 a série torna-se
sumk=0^infty(-1)^kln(k+1)
Aqui aplicamos o critério de Leibniz (série alternada): defina
bk=1ln(k+1)
Observamos que bk>0, bk é monótona decrescente (pois ln(k+2)>ln(k+1)) e limktoinftybk=0. Logo a série alternada converge condicionalmente em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,1)

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