Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
33)
33)
Passo 1
Estamos lidando com a série de potência centrada em zero
e queremos encontrar o raio de convergência
(usando o teste da raiz ou da razão) e depois estudar os extremos
e
.
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz de Cauchy: seja
Calculamos
Como
e
para qualquer
, obtemos
Logo o raio de convergência é
isto é, a série converge absolutamente para
.
Passo 3
No extremo
a série fica
Para grandes
,
e podemos usar o teste da integral:
portanto
diverge. Concluímos que em
a série diverge.
Passo 4
No extremo
a série torna-se
Aqui aplicamos o critério de Leibniz (série alternada): defina
Observamos que
,
é monótona decrescente (pois
) e
. Logo a série alternada converge condicionalmente em
.
Resposta
O intervalo de convergência é