Resolva os seguintes PVIs (Problemas de Valores Iníciais):
(0,5) d yd x=x yx^2+1 com y(0)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
0,5,dydx=x,yx^2+1, y(0)=2
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Para resolver, vamos isolar dydx, separar variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2 para isolar dydx:
0,5,dydx=x,yx^2+1 Longrightarrow dydx=2x,yx^2+1

Passo 3

Separamos as variáveis y e x:
1y,dy =2xx^2+1,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy =integral 2xx^2+1,dx Longrightarrow ln|y|=lnl(x^2+1r)+C
Exponenciando, obtemos a solução geral
y=K,(x^2+1), K=e^C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2=K,(0^2+1)Longrightarrow K=2
Logo a solução particular é
y(x)=2,(x^2+1)

Resposta

y(x)=2,(x^2+1)

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