Seja G o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera x^2+ y^2+z^2=4 e pelos planos coordenados.
(a) Escreva a integral integral triplaG 1 d V como uma integral iterada tripla em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. (2,25 ptos)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido G no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e pelos planos coordenados. Vamos expressar
integral triplaG1,dV
como integral iterada em três sistemas de coordenadas: retangulares, cilíndricas e esféricas, usando em cada caso os limites adequados e o fator de Jacobian quando necessário.

Passo 2

Em coordenadas retangulares (x,y,z), o primeiro octante impõe
x>=0, y>=0, z>=0,
e a esfera impõe x^2+y^2+z^2<=4. Podemos tratar x como mais externo e z como mais interno:
0<= x<=2, 0<= y<=raiz4-x^2, 0<= z<=raiz4-x^2-y^2
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integral triplaG1,dV =integralx=0^2integraly=0^raiz4-x^2integralz=0^raiz4-x^2-y^21;dz,dy,dx

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
com Jacobiano r. No primeiro octante thetain[0,pi/2], r>=0, e a esfera vira r^2+z^2<=4, ou seja 0<= z<=raiz4-r^2. Assim
integral triplaG1,dV =integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^raiz4-r^2r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta), definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com Jacobiano rho^2sinphi. A esfera é rho=2, e no primeiro octante thetain[0,pi/2], phiin[0,pi/2]. Portanto
integral triplaG1,dV =integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralrho=0^2rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Resposta

Em coordenadas retangulares:
integralx=0^2integraly=0^raiz4-x^2integralz=0^raiz4-x^2-y^21;dz,dy,dx
Em coordenadas cilíndricas:
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^raiz4-r^2r;dz,dr,dtheta
Em coordenadas esféricas:
integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralrho=0^2rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

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