Seja
o sólido no primeiro octante, limitado pela esfera
e pelos planos coordenados.
(a) Escreva a integral
como uma integral iterada tripla em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. (2,25 ptos)
(a) Escreva a integral
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
no primeiro octante limitado pela esfera
e pelos planos coordenados. Vamos expressar
como integral iterada em três sistemas de coordenadas: retangulares, cilíndricas e esféricas, usando em cada caso os limites adequados e o fator de Jacobian quando necessário.
Passo 2
Em coordenadas retangulares
, o primeiro octante impõe
e a esfera impõe
. Podemos tratar
como mais externo e
como mais interno:
Logo
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, usamos
com Jacobiano
. No primeiro octante
,
, e a esfera vira
, ou seja
. Assim
Passo 4
Em coordenadas esféricas
, definimos
com Jacobiano
. A esfera é
, e no primeiro octante
,
. Portanto
Resposta
Em coordenadas retangulares:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas: