Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+2} x^{2 k+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+2}\,x^{2k+1}
e pede o intervalo de convergência. Isso é um problema de raio de convergência de séries de potência, para o qual vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

Seja
u_k = \frac{1}{k+2}\,x^{2k+1}.
O teste da raiz exige o cálculo de
L \;=\;\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert u_k\rvert} =\limsup_{k\to\infty}\Bigl(\frac{1}{k+2}\Bigr)^{1/k}\,\bigl\lvert x\bigr\rvert^{(2k+1)/k}.
Note que \bigl(\tfrac{1}{k+2}\bigr)^{1/k}\to1 e \lvert x\rvert^{1/k}\to1 quando k\to\infty. Logo
L = \lvert x\rvert^2.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se L<1, isto é
\lvert x\rvert^2 < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x\rvert<1.
Portanto o raio de convergência é R=1 e, até agora, sabemos que a série converge para -1<x<1.

Passo 4

Faltam os extremos. Para x=1 a série vira
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+2},
que diverge por comparação com \sum1/k. Para x=-1 temos (-1)^{2k+1}=-1 e a série fica
-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+2},
que também diverge. Logo nenhum dos extremos é incluído.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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