Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+2} x^{2 k+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+2}\,x^{2k+1}
e pede o intervalo de convergência. Isso é um problema de raio de convergência de séries de potência, para o qual vamos usar o teste da raiz de Cauchy.
Passo 2
Seja
u_k = \frac{1}{k+2}\,x^{2k+1}.
O teste da raiz exige o cálculo de
L \;=\;\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert u_k\rvert} =\limsup_{k\to\infty}\Bigl(\frac{1}{k+2}\Bigr)^{1/k}\,\bigl\lvert x\bigr\rvert^{(2k+1)/k}.
Note que \bigl(\tfrac{1}{k+2}\bigr)^{1/k}\to1 e \lvert x\rvert^{1/k}\to1 quando k\to\infty. Logo
L = \lvert x\rvert^2.
Passo 3
Pelo teste da raiz, a série converge se L<1, isto é