Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k)!}
e pede os valores de x para os quais essa série converge absolutamente. O conteúdo aqui é teste de convergência absoluta de séries, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_{k}=(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k)!}
Para verificar a convergência absoluta consideramos
|a_{k}|=\frac{\bigl|x\bigr|^{2k}}{(2k)!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a |a_{k}|. Calculamos
L=\lim_{k\to\infty}\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} =\lim_{k\to\infty} \frac{\bigl|x\bigr|^{2(k+1)}/(2k+2)!}{\bigl|x\bigr|^{2k}/(2k)!} =\lim_{k\to\infty}\frac{\bigl|x\bigr|^{2}}{(2k+2)(2k+1)}.
Como (2k+2)(2k+1)\to\infty quando k\to\infty, temos
L=0<1.

Passo 4

O teste da razão diz que, se L<1, a série \sum|a_{k}| converge. Aqui L=0<1 para todo x. Logo a série original converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

A série converge absolutamente para todo x\in(-\infty,\infty).

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