Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente: \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\ldots
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k)!}
e pede os valores de x para os quais essa série converge absolutamente. O conteúdo aqui é teste de convergência absoluta de séries, e vamos usar o teste da razão.
Passo 2
Identificamos o termo geral
a_{k}=(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{(2k)!}
Para verificar a convergência absoluta consideramos
Como (2k+2)(2k+1)\to\infty quando k\to\infty, temos
L=0<1.
Passo 4
O teste da razão diz que, se L<1, a série \sum|a_{k}| converge. Aqui L=0<1para todox. Logo a série original converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Resposta
A série converge absolutamente para todo x\in(-\infty,\infty).