Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
e pede para determinar para quais valores de x ela converge absolutamente. O conteúdo principal é convergência absoluta de séries de termos gerais, e o teste mais direto aqui é o teste da razão.

Passo 2

Escrevemos a série de valores absolutos:
\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right| =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|x|^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agora aplicamos o teste da razão a a_k = \frac{|x|^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Calculamos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =\lim_{k\to\infty} \frac{|x|^{2(k+1)+1}/(2(k+1)+1)!}{|x|^{2k+1}/(2k+1)!} =\lim_{k\to\infty} \frac{|x|^{2k+3}}{(2k+3)!}\;\frac{(2k+1)!}{|x|^{2k+1}} =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+3)}.
Como (2k+2)(2k+3)\to\infty, temos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=0<1.

Passo 4

Pelo teste da razão, se o limite da razão é menor que 1, a série de valores absolutos converge para todo x. Logo a série original converge absolutamente em todo o eixo real.

Resposta

A série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

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