Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k+1}}{\pi^{k}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{\pi^k}.
O conteúdo envolvido é o critério de convergência de uma série geométrica em k.

Passo 2

Reescrevemos a série extraindo um fator x:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{\pi^k} = x \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x^2}{\pi}\right)^k.
Aqui o somatório é uma série geométrica de razão
r = \frac{x^2}{\pi}.
Ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1, ou seja
\left\lvert \frac{x^2}{\pi}\right\rvert<1 \;\Longleftrightarrow\; x^2<\pi \;\Longleftrightarrow\; \lvert x\rvert<\sqrt{\pi}.

Passo 3

Nos extremos \lvert x\rvert=\sqrt{\pi}, o termo geral é
\frac{(\pm\sqrt{\pi})^{2k+1}}{\pi^k} = \pm\sqrt{\pi},
que não tende a zero, logo a série diverge em x=\pm\sqrt{\pi}.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\sqrt{\pi},\sqrt{\pi}).

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