Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-2){k}}{3{k} k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o intervalo de convergência da série de potência”
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{k}}{3^{k} k^{2}}.
Informações dadas:
  • A soma é sobre k de 1 até \infty.
  • O termo geral é \dfrac{(x-2)^{k}}{3^{k} k^{2}}.
  • O centro da série (o valor de x em torno do qual a potência está escrita) é 2 — observei isso porque o termo contém (x-2)^k.
    O que se pede: determinar para quais valores de x a série converge (intervalo de convergência, incluindo teste nos extremos).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da raiz (teste de Cauchy) porque o termo tem uma potência (x-2)^k multiplicada por um fator com k no expoente ( 3^k) e um fator polinomial em k ( k^2). O teste da raiz lida bem com potências em k e permite achar diretamente o raio de convergência. Antes de aplicar, explico o teste da raiz de forma didática:
  • Dado uma série de potências \sum a_k (x-c)^k, define-se L=\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}.
  • O raio de convergência R é R=1/L (quando L>0). Isso vem da ideia de que a série se comporta como uma série geométrica de razão aproximada |x-c|\cdot L.
  • Se |x-c|<R a série converge absolutamente; se |x-c|>R diverge; nos pontos |x-c|=R é preciso testar separadamente.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à nossa série. Aqui a_k=\dfrac{1}{3^{k}k^{2}} (o fator que multiplica (x-2)^k). Calculo
|a_k|^{1/k}=\left(\frac{1}{3^{k}k^{2}}\right)^{1/k}=\frac{1}{3}\,(k^{2})^{-1/k}.
Agora preciso do limite (ou limsup) quando k\to\infty de (k^{2})^{-1/k}. Faço uma pequena justificativa:
(k^{2})^{-1/k}=\exp\!\big( -\tfrac{1}{k}\ln(k^{2})\big)=\exp\!\big( -\tfrac{2\ln k}{k}\big).
Como \displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{k}=0, segue que \displaystyle\lim_{k\to\infty}\exp\!\big(-\tfrac{2\ln k}{k}\big)=\exp(0)=1. Portanto
\lim_{k\to\infty}|a_k|^{1/k}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Logo L=\dfrac{1}{3} e o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=3.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x-2|<3 e diverge para |x-2|>3. Agora faltam os testes nos extremos |x-2|=3.

Passo 4

Ponto extremo x=5 (porque 5-2=3). Substituo x=5 na série:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(5-2)^{k}}{3^{k}k^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{k}}{3^{k}k^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.
Explicando por que isto converge: isso é uma série p (série harmônica generalizada) com termo \dfrac{1}{k^{p}} e p=2. A regra conhecida é que \sum 1/k^{p} converge se, e somente se, p>1. Como 2>1, a série converge. Portanto, x=5 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Ponto extremo x=-1 (porque -1-2=-3). Substituo x=-1:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1-2)^{k}}{3^{k}k^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-3)^{k}}{3^{k}k^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^{2}}.
Análise de convergência: o módulo dos termos é \left|\dfrac{(-1)^{k}}{k^{2}}\right|=\dfrac{1}{k^{2}}, que, como no caso anterior, gera uma série convergente (p-série com p=2). Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente (e portanto converge). Uma observação didática: se uma série converge absolutamente, ela converte independentemente de sinais alternados; não é preciso recorrer ao teste da série alternada, embora este também daria convergência aqui.

Passo 6

Conclusão combinada: radius R=3 e ambos os extremos x=5 e x=-1 produzem séries convergentes. Portanto o intervalo de convergência, escrito em termos de x, é o intervalo fechado que contém todos os x tais que |x-2|\le 3, ou seja [-1,5].

Resposta

[-1,5]

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