O centro da série (o valor de x em torno do qual a potência está escrita) é 2 — observei isso porque o termo contém (x-2)^k.
O que se pede: determinar para quais valores de x a série converge (intervalo de convergência, incluindo teste nos extremos).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da raiz (teste de Cauchy) porque o termo tem uma potência (x-2)^k multiplicada por um fator com k no expoente (3^k) e um fator polinomial em k (k^2). O teste da raiz lida bem com potências em k e permite achar diretamente o raio de convergência. Antes de aplicar, explico o teste da raiz de forma didática:
Dado uma série de potências \sum a_k (x-c)^k, define-se L=\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}.
O raio de convergência R é R=1/L (quando L>0). Isso vem da ideia de que a série se comporta como uma série geométrica de razão aproximada |x-c|\cdot L.
Se |x-c|<R a série converge absolutamente; se |x-c|>R diverge; nos pontos |x-c|=R é preciso testar separadamente.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à nossa série. Aqui a_k=\dfrac{1}{3^{k}k^{2}} (o fator que multiplica (x-2)^k). Calculo
Explicando por que isto converge: isso é uma série p (série harmônica generalizada) com termo \dfrac{1}{k^{p}} e p=2. A regra conhecida é que \sum 1/k^{p} converge se, e somente se, p>1. Como 2>1, a série converge. Portanto, x=5 pertence ao intervalo de convergência.
Passo 5
Ponto extremo x=-1 (porque -1-2=-3). Substituo x=-1:
Análise de convergência: o módulo dos termos é \left|\dfrac{(-1)^{k}}{k^{2}}\right|=\dfrac{1}{k^{2}}, que, como no caso anterior, gera uma série convergente (p-série com p=2). Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente (e portanto converge). Uma observação didática: se uma série converge absolutamente, ela converte independentemente de sinais alternados; não é preciso recorrer ao teste da série alternada, embora este também daria convergência aqui.
Passo 6
Conclusão combinada: radius R=3 e ambos os extremos x=5 e x=-1 produzem séries convergentes. Portanto o intervalo de convergência, escrito em termos de x, é o intervalo fechado que contém todos os x tais que |x-2|\le 3, ou seja [-1,5].