Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k)!}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A série é indexada por k=0,1,2,\dots.
  • O termo geral é \displaystyle \frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}.
  • Preciso determinar para quais valores de x essa soma converge (intervalo de convergência).

Passo 2

Vou escolher um método para testar convergência. O enunciado não exige um método específico, então uso o teste da razão (ratio test), que é um dos mais diretos para séries com fatoriais e potências. O teste da razão diz o seguinte: para uma série com termos a_k, se existir o limite
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|,
então
  • se L<1 a série converge absolutamente,
  • se L>1 a série diverge,
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    Vou aplicar esse teste ao termo geral da nossa série. Escolhi esse método porque ele simplifica muito quando aparecem fatoriais e potências (é um procedimento padrão e rápido na prova).

Passo 3

Identifico o termo geral da série como
a_k=\frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}.
Como o teste da razão usa valores absolutos, trabalho com
\left|a_k\right|=\frac{|x|^{2k}}{(2k)!}.
Aqui |x| é o valor absoluto de x (para lidar com todos os sinais), e (2k)! é o fatorial de 2k.

Passo 4

Calculo a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{|x|^{2(k+1)}}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{|x|^{2k}}.
Agora simplifico passo a passo. Primeiro, extraio a potência de x:
\frac{|x|^{2(k+1)}}{|x|^{2k}} = |x|^{2}.
E uso que
(2k+2)! = (2k+2)(2k+1)(2k)!.
Substituindo isso,
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+1)}.

Passo 5

Agora avalio o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+1)}.
Para k grande, o denominador cresce como 4k^{2}, então esse quociente tende a 0 para qualquer x fixo. Formalmente,
L=0.

Passo 6

Como o limite L=0 satisfaz L<1 para todo x, pelo teste da razão a série converge absolutamente para todo valor de x. Convergência absoluta implica convergência, portanto a série converge para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação final e observação adicional (útil na prova): o raio de convergência é infinito, portanto o intervalo de convergência é (-\infty,\infty). Observação alternativa rápida (não necessária para a conclusão): reconhecemos a série como a expansão de Taylor da função \cos x,
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!},
e sabemos que essa expansão converge para todo x.

Resposta

(-\infty,\infty)

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