O termo geral é \displaystyle \frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}.
Preciso determinar para quais valores de x essa soma converge (intervalo de convergência).
Passo 2
Vou escolher um método para testar convergência. O enunciado não exige um método específico, então uso o teste da razão (ratio test), que é um dos mais diretos para séries com fatoriais e potências. O teste da razão diz o seguinte: para uma série com termos a_k, se existir o limite
se L=1 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse teste ao termo geral da nossa série. Escolhi esse método porque ele simplifica muito quando aparecem fatoriais e potências (é um procedimento padrão e rápido na prova).
Passo 3
Identifico o termo geral da série como
a_k=\frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}.
Como o teste da razão usa valores absolutos, trabalho com
\left|a_k\right|=\frac{|x|^{2k}}{(2k)!}.
Aqui |x| é o valor absoluto de x (para lidar com todos os sinais), e (2k)! é o fatorial de 2k.
Passo 4
Calculo a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
Para k grande, o denominador cresce como 4k^{2}, então esse quociente tende a 0 para qualquer x fixo. Formalmente,
L=0.
Passo 6
Como o limite L=0 satisfaz L<1 para todo x, pelo teste da razão a série converge absolutamente para todo valor de x. Convergência absoluta implica convergência, portanto a série converge para qualquer x\in\mathbb{R}.
Passo 7
Interpretação final e observação adicional (útil na prova): o raio de convergência é infinito, portanto o intervalo de convergência é (-\infty,\infty). Observação alternativa rápida (não necessária para a conclusão): reconhecemos a série como a expansão de Taylor da função \cos x,