Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k(k+1)}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k(k+1)}.
Informações dadas: os termos gerais são \dfrac{x^{k}}{k(k+1)} para k=1,2,\dots. Pergunta: para quais valores de x\in\mathbb{R} (ou complexos) a série converge? A resolução seguirá verificando o raio de convergência e, em seguida, analisando os extremos do intervalo.
Passo 2
Definimos os coeficientes da série de potência centrada em 0:
a_k=\frac{1}{k(k+1)}.
A série é \sum_{k=1}^\infty a_k x^k. Para encontrar o raio de convergência R é comum usar o teste da razão (ou o teste da raiz). Vou usar o teste da razão porque é direto aqui.
Passo 3
Aplicando o teste da razão aos coeficientes a_k: calculamos
Mas esta é exatamente a mesma série do caso x=1, que já mostramos convergir (telescópica, soma 1). Logo a série em x=-1 converge absolutamente (portanto converge).
Passo 7
Conclusão combinando as observações: a série converge absolutamente para |x|<1 (raio R=1) e também converge (absolutamente) nos pontos x=1 e x=-1. Assim o intervalo de convergência real é o intervalo fechado que contém ambos os extremos.