Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k(k+1)}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k(k+1)}.
Informações dadas: os termos gerais são \dfrac{x^{k}}{k(k+1)} para k=1,2,\dots. Pergunta: para quais valores de x\in\mathbb{R} (ou complexos) a série converge? A resolução seguirá verificando o raio de convergência e, em seguida, analisando os extremos do intervalo.

Passo 2

Definimos os coeficientes da série de potência centrada em 0:
a_k=\frac{1}{k(k+1)}.
A série é \sum_{k=1}^\infty a_k x^k. Para encontrar o raio de convergência R é comum usar o teste da razão (ou o teste da raiz). Vou usar o teste da razão porque é direto aqui.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos coeficientes a_k: calculamos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
Substituindo a_k=\dfrac{1}{k(k+1)} obtemos
\frac{a_{k+1}}{a_k} =\frac{\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}}{\dfrac{1}{k(k+1)}} =\frac{k(k+1)}{(k+1)(k+2)} =\frac{k}{k+2}.
Portanto
L=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+2}=1.

Passo 4

Para uma série de potência \sum a_k x^k, se L=\lim_{k\to\infty}|a_{k+1}/a_k| existe, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}.
Aqui L=1, logo
R=1.
Isto significa que a série converge absolutamente para |x|<1 e diverge para |x|>1. Ainda falta checar os pontos |x|=1 (ou seja x=1 e x=-1).

Passo 5

Analisemos o caso x=1. Substituindo na série obtemos a série numérica
\sum_{k=1}^\infty \frac{1^{k}}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}.
Observe a identidade de telescópica
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
Somando os primeiros n termos:
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.
Fazendo n\to\infty obtemos 1. Portanto a série converge (na verdade converge absolutamente) em x=1.

Passo 6

Analisemos o caso x=-1. Substituindo obtemos
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)}.
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{k=1}^\infty \left|\frac{(-1)^k}{k(k+1)}\right|=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}.
Mas esta é exatamente a mesma série do caso x=1, que já mostramos convergir (telescópica, soma 1). Logo a série em x=-1 converge absolutamente (portanto converge).

Passo 7

Conclusão combinando as observações: a série converge absolutamente para |x|<1 (raio R=1) e também converge (absolutamente) nos pontos x=1 e x=-1. Assim o intervalo de convergência real é o intervalo fechado que contém ambos os extremos.

Resposta

[-1,1]

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