A variável é x (assumimos x\in\mathbb{R}). A pergunta é: para quais valores de x essa série converge?
Passo 2
Vamos usar o teste da razão (um dos testes clássicos para séries) aplicado à série dos valores absolutos para verificar convergência absoluta. Primeiro, explico o que é o teste da razão e por que o aplicamos aqui.
O teste da razão diz: para uma série de termos a_k, se existir o limite
Aqui é natural aplicar o teste à série dos módulos |a_k| porque há fatorial no denominador — fatoriais crescem muito rápido e o teste da razão costuma ser eficaz nesses casos.
Calculo os módulos:
|a_k|=\frac{|x|^{2k+1}}{2(k+1)!}.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos (tudo em módulo):
Esse limite vale 0 para qualquer valor fixo de x (pois o denominador cresce sem limite), e 0<1. Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Comentário didático curto: isso também coincide com a intuição de que fatoriais crescem mais rápido que qualquer potência, então os termos vão a zero muito rápido e garantem convergência para todo x.
Passo 4
Conclusão: a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Em linguagem de séries de potência, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.