Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{2(k+1)!}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2(k+1)!}.
Informações dadas:
\text{termos: }a_k=\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2(k+1)!},\qquad k=0,1,2,\dots
A variável é x (assumimos x\in\mathbb{R}). A pergunta é: para quais valores de x essa série converge?

Passo 2

Vamos usar o teste da razão (um dos testes clássicos para séries) aplicado à série dos valores absolutos para verificar convergência absoluta. Primeiro, explico o que é o teste da razão e por que o aplicamos aqui.
O teste da razão diz: para uma série de termos a_k, se existir o limite
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|,
então
  • se L<1 a série \sum a_k converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui é natural aplicar o teste à série dos módulos |a_k| porque há fatorial no denominador — fatoriais crescem muito rápido e o teste da razão costuma ser eficaz nesses casos.
Calculo os módulos:
|a_k|=\frac{|x|^{2k+1}}{2(k+1)!}.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos (tudo em módulo):
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\frac{|x|^{2(k+1)+1}}{2(k+2)!}\cdot\frac{2(k+1)!}{|x|^{2k+1}}.
Agora simplifico passo a passo: o numerador em potência de x é |x|^{2k+3} e no denominador |x|^{2k+1}, então sobra |x|^{2}. Nos fatoriais,
\frac{(k+1)!}{(k+2)!}=\frac{1}{k+2}.
Portanto
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{|x|^{2}}{k+2}.
Agora tomo o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{k+2}=0.
Esse limite vale 0 para qualquer valor fixo de x (pois o denominador cresce sem limite), e 0<1. Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Comentário didático curto: isso também coincide com a intuição de que fatoriais crescem mais rápido que qualquer potência, então os termos vão a zero muito rápido e garantem convergência para todo x.

Passo 4

Conclusão: a série converge absolutamente para qualquer x\in\mathbb{R}. Em linguagem de séries de potência, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.

Resposta

(-\infty,\infty)

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