Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=3}^{\infty} k x^{k}

Passo 1

O enunciado dá a série de potência \displaystyle \sum_{k=3}^{\infty} k x^{k} e pede o intervalo de convergência: ou seja, para quais valores reais de x essa soma infinita converge. Informações importantes fornecidas:
\text{termos: } a_k = k x^{k},\qquad k=3,4,5,\dots
Não há indicação de centro diferente de zero, então a série é centrada em 0. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Escolhendo o método: vou usar o teste da razão (ratio test). Por que? Porque os termos têm fator k e potência x^{k}, e o teste da razão costuma ser direto para séries com potências x^k — ele nos dá imediatamente a condição sobre |x|. Se o teste da razão der um limite igual a 1, ainda vamos checar os extremos separadamente.

Passo 3

Vou explicar o teste da razão de modo bem claro. Seja uma série de termos a_k. Define-se
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo e precisamos de outro critério.
    Aqui a_k = k x^{k}. Note que |\cdot| é o valor absoluto (porque queremos convergência absoluta primeiro, que dá o raio de convergência).

Passo 4

Calculemos o quociente \left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{(k+1)x^{k+1}}{k x^{k}}\right| = \frac{k+1}{k}\,|x|.
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\,|x| =\left(\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\right)\!|x| =1\cdot |x| =|x|.
Portanto, pelo teste da razão, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. O caso |x|=1 é inconclusivo pelo teste e deve ser verificado separadamente.

Passo 5

Interpretação do passo anterior: o raio de convergência é R=1. Isso significa que qualquer x com |x|<1 faz a série convergir (de fato, convergência absoluta). Agora precisamos analisar os pontos da fronteira: x=1 e x=-1.

Passo 6

Verificação dos extremos:
  • Para x=1: a série fica
\sum_{k=3}^{\infty} k\cdot 1^{k} = \sum_{k=3}^{\infty} k.
Os termos gerais são k, que não tendem a zero quando k\to\infty. Uma condição necessária para que uma série \sum a_k convirja é que a_k\to 0. Como aqui a_k=k\not\to 0, a série diverge. (Mais diretamente: soma de k diverge para +\infty.)
  • Para x=-1: a série fica
\sum_{k=3}^{\infty} k(-1)^{k}.
Os termos têm magnitude |k(-1)^k|=k, que também não tendem a zero; portanto a série diverge (mesmo sendo alternada, a termo geral não tende a zero, então diverge). Assim, nem x=1 nem x=-1 produzem convergência.

Passo 7

Conclusão final: a série converge para todo x tais que |x|<1 e diverge para |x|\ge 1. Em termos de intervalo real de convergência, isso é o intervalo aberto (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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