Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{k}}{3^{k} \sqrt{k+1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência centrada em 1:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{k}}{3^{k}\sqrt{k+1}}.
O que o problema pede:
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, o conjunto de x reais para os quais a série converge).
    Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os coeficientes da série (em forma padrão \sum c_k (x-a)^k) são
c_k=\frac{1}{3^{k}\sqrt{k+1}}.
  • A série é centrada em a=1.
    A partir daqui vamos achar o raio de convergência e testar os dois extremos do intervalo.

Passo 2

Escolhendo o método: para séries de potência o caminho natural é calcular o raio de convergência R. Uma fórmula prática é
R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty} |c_k|^{1/k}},
onde c_k são os coeficientes da série em (x-a)^k. Vou usar essa fórmula porque os c_k têm uma forma que facilita a extração da raiz enésima.
Explicação didática do que essa fórmula diz:
  • A sequência |c_k|^{1/k} mede, em média, o comportamento exponencial dos coeficientes.
  • Se \limsup_{k\to\infty}|c_k|^{1/k}=L então a série converge para |x-a|<1/L e diverge para |x-a|>1/L. O caso limite |x-a|=1/L precisa ser verificado separadamente (os extremos).

Passo 3

Calcular |c_k|^{1/k} para os nossos coeficientes:
c_k=\frac{1}{3^{k}\sqrt{k+1}}, \qquad |c_k|^{1/k}=\left(\frac{1}{3^{k}\sqrt{k+1}}\right)^{1/k}=\frac{1}{3}\,(k+1)^{-1/(2k)}.
Agora calculemos o limite quando k\to\infty. Note que
(k+1)^{-1/(2k)}=\exp\!\left(-\frac{1}{2k}\ln(k+1)\right).
Como \displaystyle \frac{\ln(k+1)}{k}\to 0 quando k\to\infty, obtemos
\lim_{k\to\infty}(k+1)^{-1/(2k)}=e^{0}=1.
Portanto
\limsup_{k\to\infty}|c_k|^{1/k}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Com esse valor, o raio de convergência é
R=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.
Isso significa que a série converge (pelo menos) para todos x com
|x-1|<3,
ou seja no intervalo aberto
(1-3,\;1+3)=(-2,\,4).
Agora resta testar separadamente os dois pontos finais x=-2 e x=4.

Passo 5

Testando o extremo x=-2:
Substituindo x=-2 na série,
(x-1)^k=( -2-1)^k =(-3)^k,
então a série fica
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-3)^k}{3^k\sqrt{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}.
Esta é uma série alternada da forma \sum (-1)^k b_k com
b_k=\frac{1}{\sqrt{k+1}}>0.
Aplicando o critério de Leibniz (critério da série alternada): se (b_k) é monótona decrescente e b_k\to 0, então \sum (-1)^k b_k converge. Verificações:
  • b_k\to 0 porque \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}}=0.
  • b_k é decrescente: para todo k,
\sqrt{k+2}>\sqrt{k+1}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{k+2}}<\frac{1}{\sqrt{k+1}},
logo b_{k+1}<b_k.
Portanto, por Leibniz, a série converge em x=-2.
Além disso, a convergência não é absoluta em x=-2, pois a série dos valores absolutos é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}},
que é uma série do tipo p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto diverge. Conclusão: em x=-2 há convergência condicional.

Passo 6

Testando o extremo x=4:
Substituindo x=4,
(x-1)^k=(4-1)^k=3^k,
então os termos da série ficam
\frac{3^k}{3^k\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}.
A série torna-se
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}},
que é novamente uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1, e por isso diverge. Logo a série diverge em x=4.

Passo 7

Conclusão final reunindo tudo:
  • Raio de convergência R=3.
  • Converge para |x-1|<3, i.e. x\in(-2,4).
  • Em x=-2 converge condicionalmente.
  • Em x=4 diverge.

Resposta

\left[-2,\,4\right)

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