Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência centrada em
:
O que o problema pede:
- Determinar o intervalo de convergência (ou seja, o conjunto de
reais para os quais a série converge).
Informações relevantes que temos do enunciado: - Os coeficientes da série (em forma padrão
) são
- A série é centrada em
.
A partir daqui vamos achar o raio de convergência e testar os dois extremos do intervalo.
Passo 2
Escolhendo o método: para séries de potência o caminho natural é calcular o raio de convergência
. Uma fórmula prática é
onde
são os coeficientes da série em
. Vou usar essa fórmula porque os
têm uma forma que facilita a extração da raiz enésima.
Explicação didática do que essa fórmula diz:
- A sequência
mede, em média, o comportamento exponencial dos coeficientes. - Se
então a série converge para e diverge para . O caso limite precisa ser verificado separadamente (os extremos).
Passo 3
Calcular
para os nossos coeficientes:
Agora calculemos o limite quando
. Note que
Como
quando
, obtemos
Portanto
Passo 4
Com esse valor, o raio de convergência é
Isso significa que a série converge (pelo menos) para todos
com
ou seja no intervalo aberto
Agora resta testar separadamente os dois pontos finais
e
.
Passo 5
Testando o extremo
:
Substituindo na série,
Substituindo
então a série fica
Esta é uma série alternada da forma
com
Aplicando o critério de Leibniz (critério da série alternada): se
é monótona decrescente e
, então
converge. Verificações:
-
porque . -
é decrescente: para todo ,
logo
.
Portanto, por Leibniz, a série converge em .
Portanto, por Leibniz, a série converge em
Além disso, a convergência não é absoluta em
, pois a série dos valores absolutos é
que é uma série do tipo
-série com
, portanto diverge. Conclusão: em
há convergência condicional.
Passo 6
Testando o extremo
:
Substituindo ,
Substituindo
então os termos da série ficam
A série torna-se
que é novamente uma
-série com
, e por isso diverge. Logo a série diverge em
.
Passo 7
Conclusão final reunindo tudo:
- Raio de convergência
. - Converge para
, i.e. . - Em
converge condicionalmente. - Em
diverge.