Esboce os seguintes campos Vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar (ou desenhar qualitativamente) o campo vetorial
.
Informações dadas:
- O campo vetorial é a função
definida por para todo ponto . - Não há dependência de
, ou : os componentes do campo são constantes.
O que é pedido exatamente:
- Fazer um esboço/descrição visual do campo: como desenhar as setas em espaço 3D (ou em fatias/plano) que representam esse campo.
Passo 2
Entendendo o vetor que aparece em todo ponto: qual é a direção e o módulo de
.
Calculemos o módulo de
:
O vetor direção (vetor unitário) associado é
Interpretação didática: em cada ponto do espaço a seta do campo tem sempre o mesmo comprimento
e aponta na mesma direção, que é a direção do vetor
. Uma forma prática de pensar: se estiver em qualquer ponto
, a seta ali vai exatamente para o ponto
se a colocarmos “ancorada” na ponta de origem.
Passo 3
Propriedades geométricas importantes que ajudam no esboço (cálculos fáceis que mostram comportamento).
Divergência:
Então o campo não “sai” nem “entra” (fluxo divergente nulo) — é incompressível no sentido local.
Rotacional (curl):
Portanto não há rotação local do campo: é um campo irrotacional.
Potencial escalar:
Como e componentes são contínuas,
é gradiente de alguma função. De fato, tome
Como
Verifica-se
Isso significa que as superfícies de nível
, ou seja as planas
, são perpendiculares (normais) ao campo. Essa observação ajuda bastante no desenho: o campo aponta sempre perpendicular a essas planas.
Passo 4
Curvas integrais (linhas de fluxo) — que linhas as setas seguem se eu pegar uma partícula sujeita a esse campo?
As equações das curvas integrais satisfazem
Integrando:
onde
é o ponto inicial. Esses são segmentos de reta cujas direções são paralelas a
. Em outras palavras, as linhas de campo são retas paralelas entre si, inclinadas igualmente em
.
Passo 5
Como materializar o esboço no papel (passo a passo prático para desenhar durante a prova).
- Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixos
, e . Pode desenhar um cubinho (paralelogramo) para dar referência de pontos de grade. - Escolha alguns pontos de grade (por exemplo
, , , , , , etc.). Em cada um desses pontos desenhe uma seta idêntica apontando na direção diagonal que sobe para frente (aquela direção que vai igualmente em , e ). - Como as componentes têm mesmo valor, a projeção dessa seta no plano
é o vetor : então, olhando de cima (projeção no plano ), as setas projetadas apontam na direção diagonal nordeste (45°). Ao mesmo tempo as setas têm componente positiva em , então elas “apontam para cima” na vista 3D. - Desenhe todas as setas com o mesmo comprimento relativo (mesma escala) — isso reforça que o campo é uniforme. Se preferir, desenhe primeiro apenas as projeções no plano
e acrescente pequenas setas ou tracinhos indicando a componente positiva em (por exemplo, uma pequena seta ou símbolo “↑”).
Exemplo concreto de três vetores desenhados:
- No ponto
desenhar a seta que vai até aproximadamente em escala reduzida (ou mais simplesmente um segmento de mesma direção). - No ponto
desenhar a mesma seta paralela deslocada. - No ponto
desenhar a mesma seta paralela deslocada.
Dica rápida: se o desenho em 3D estiver complicado, faça fatias (planos): desenhe o campo na placa
mostrando a projeção
em cada ponto da grade; depois indique com pequenas setas para cima que há componente em
.
Passo 6
Interpretação visual final — como o campo “parece” quando bem esboçado.
- É um campo uniforme: todas as setas são paralelas e igualmente compridas.
- Visualmente lembra um conjunto de setas paralelas atravessando o espaço em direção à diagonal
. - As superfícies
constante (planos inclinados) são perpendiculares às setas; cortar o espaço por qualquer uma dessas superfícies e olhar as setas mostra que todas atravessam essa superfície na direção normal. - As linhas de fluxo são retas paralelas, então não há curvaturas nem pontos especiais (fontes, sumidouros ou redemoinhos).
Passo 7
Resumo de elementos que você pode anotar junto ao esboço na prova (para ganhar pontos extras com pouca escrita):
- Magnitude:
. - Vetor unitário de direção:
. - Potencial:
com . -
, . - Linhas de fluxo:
.
Resposta
O campo é uniforme: em todo ponto a seta tem direção
e módulo
. As setas são paralelas e de mesmo comprimento, apontando na diagonal para cima; as linhas de fluxo são retas paralelas
; além disso
é potencial com
,
e
.