Esboce os seguintes campos Vetoriais:
F(x, y, z)=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar (ou desenhar qualitativamente) o campo vetorial F(x,y,z)=(1,1,1).
Informações dadas:
  • O campo vetorial é a função F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por F(x,y,z)=(1,1,1) para todo ponto (x,y,z).
  • Não há dependência de x, y ou z: os componentes do campo são constantes.
O que é pedido exatamente:
  • Fazer um esboço/descrição visual do campo: como desenhar as setas em espaço 3D (ou em fatias/plano) que representam esse campo.

Passo 2

Entendendo o vetor que aparece em todo ponto: qual é a direção e o módulo de F.
Calculemos o módulo de F:
\|F\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
O vetor direção (vetor unitário) associado é
u=\frac{1}{\|F\|}F=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Interpretação didática: em cada ponto do espaço a seta do campo tem sempre o mesmo comprimento \sqrt{3} e aponta na mesma direção, que é a direção do vetor (1,1,1). Uma forma prática de pensar: se estiver em qualquer ponto (x,y,z), a seta ali vai exatamente para o ponto (x+1,y+1,z+1) se a colocarmos “ancorada” na ponta de origem.

Passo 3

Propriedades geométricas importantes que ajudam no esboço (cálculos fáceis que mostram comportamento).
Divergência:
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}1+\frac{\partial}{\partial y}1+\frac{\partial}{\partial z}1=0+0+0=0.
Então o campo não “sai” nem “entra” (fluxo divergente nulo) — é incompressível no sentido local.
Rotacional (curl):
\operatorname{curl}F=\left(\frac{\partial}{\partial y}1-\frac{\partial}{\partial z}1,\\ \frac{\partial}{\partial z}1-\frac{\partial}{\partial x}1,\\ \frac{\partial}{\partial x}1-\frac{\partial}{\partial y}1\right)=(0,0,0).
Portanto não há rotação local do campo: é um campo irrotacional.
Potencial escalar:
Como \operatorname{curl}F=0 e componentes são contínuas, F é gradiente de alguma função. De fato, tome
\varphi(x,y,z)=x+y+z.
Verifica-se
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi,\partial_z\varphi)=(1,1,1)=F.
Isso significa que as superfícies de nível \varphi=\text{const}, ou seja as planas x+y+z=\text{const}, são perpendiculares (normais) ao campo. Essa observação ajuda bastante no desenho: o campo aponta sempre perpendicular a essas planas.

Passo 4

Curvas integrais (linhas de fluxo) — que linhas as setas seguem se eu pegar uma partícula sujeita a esse campo?
As equações das curvas integrais satisfazem
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=1,\qquad \frac{dz}{dt}=1.
Integrando:
x(t)=t+x_0,\qquad y(t)=t+y_0,\qquad z(t)=t+z_0,
onde (x_0,y_0,z_0) é o ponto inicial. Esses são segmentos de reta cujas direções são paralelas a (1,1,1). Em outras palavras, as linhas de campo são retas paralelas entre si, inclinadas igualmente em x,y,z.

Passo 5

Como materializar o esboço no papel (passo a passo prático para desenhar durante a prova).
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D simples: eixos x, y e z. Pode desenhar um cubinho (paralelogramo) para dar referência de pontos de grade.
  2. Escolha alguns pontos de grade (por exemplo (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), etc.). Em cada um desses pontos desenhe uma seta idêntica apontando na direção diagonal que sobe para frente (aquela direção que vai igualmente em +x, +y e +z).
  3. Como as componentes têm mesmo valor, a projeção dessa seta no plano xy é o vetor (1,1): então, olhando de cima (projeção no plano xy), as setas projetadas apontam na direção diagonal nordeste (45°). Ao mesmo tempo as setas têm componente positiva em z, então elas “apontam para cima” na vista 3D.
  4. Desenhe todas as setas com o mesmo comprimento relativo (mesma escala) — isso reforça que o campo é uniforme. Se preferir, desenhe primeiro apenas as projeções no plano xy e acrescente pequenas setas ou tracinhos indicando a componente positiva em z (por exemplo, uma pequena seta ou símbolo “↑”).
Exemplo concreto de três vetores desenhados:
  • No ponto (0,0,0) desenhar a seta que vai até aproximadamente (0{,}6,0{,}6,0{,}6) em escala reduzida (ou mais simplesmente um segmento de mesma direção).
  • No ponto (1,0,0) desenhar a mesma seta paralela deslocada.
  • No ponto (0,1,1) desenhar a mesma seta paralela deslocada.
Dica rápida: se o desenho em 3D estiver complicado, faça fatias (planos): desenhe o campo na placa z=0 mostrando a projeção (1,1) em cada ponto da grade; depois indique com pequenas setas para cima que há componente em z.

Passo 6

Interpretação visual final — como o campo “parece” quando bem esboçado.
  • É um campo uniforme: todas as setas são paralelas e igualmente compridas.
  • Visualmente lembra um conjunto de setas paralelas atravessando o espaço em direção à diagonal (1,1,1).
  • As superfícies x+y+z= constante (planos inclinados) são perpendiculares às setas; cortar o espaço por qualquer uma dessas superfícies e olhar as setas mostra que todas atravessam essa superfície na direção normal.
  • As linhas de fluxo são retas paralelas, então não há curvaturas nem pontos especiais (fontes, sumidouros ou redemoinhos).

Passo 7

Resumo de elementos que você pode anotar junto ao esboço na prova (para ganhar pontos extras com pouca escrita):
  • Magnitude: \|F\|=\sqrt{3}.
  • Vetor unitário de direção: u=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
  • Potencial: \varphi(x,y,z)=x+y+z com \nabla\varphi=F.
  • \operatorname{div}F=0, \operatorname{curl}F=(0,0,0).
  • Linhas de fluxo: x(t)=t+x_0,\\ y(t)=t+y_0,\\ z(t)=t+z_0.

Resposta

O campo é uniforme: em todo ponto a seta tem direção (1,1,1) e módulo \sqrt{3}. As setas são paralelas e de mesmo comprimento, apontando na diagonal para cima; as linhas de fluxo são retas paralelas x(t)=t+x_0,\\ y(t)=t+y_0,\\ z(t)=t+z_0; além disso \varphi(x,y,z)=x+y+z é potencial com \nabla\varphi=F, \operatorname{div}F=0 e \operatorname{curl}F=0.

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