Séries do tipo \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} são séries geométricas. Então essa série é uma série geométrica com razão
r=\frac{2x-1}{5}.
Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (o que usaremos): a série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}
converge exatamente quando a razão satisfaz |r|<1. Nesse caso a soma vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge. A razão r aqui é um número (ou expressão em x) e a condição |r|<1 garante que os termos r^{k} tendem a zero quando k\to\infty, que é condição necessária e suficiente para convergência da geométrica.
Passo 3
Aplicar a condição de convergência geométrica ao nosso r. Queremos
\left|\frac{2x-1}{5}\right|<1.
Resolver essa desigualdade passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por 5 (número positivo, não inverte a desigualdade),
|2x-1|<5.
Agora escrever em forma composta:
-5<2x-1<5.
Somando 1 a todos os termos:
-4<2x<6.
Dividindo por 2 (positivo),
-2<x<3.
Outra maneira útil de ver isso é notar que |2x-1|=2|x-\tfrac{1}{2}|, portanto a condição é
o que mostra que a série é centrada em x_{0}=\tfrac{1}{2} e tem raio de convergência R=\tfrac{5}{2}. Mas a inequação já nos deu o intervalo interior de convergência (-2,3).
Passo 4
Testar os extremos do intervalo (é obrigatório sempre verificar os pontos em que |r|=1).
A sequência de termos não tende a zero (oscila entre 1 e -1), logo pela condição necessária para convergência de séries (se a série converge então o termo geral tende a 0) concluímos que a série diverge em x=-2.
Aqui os termos não tendem a zero (são sempre 1), portanto a série também diverge em x=3.
Portanto ambos os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 5
Conclusão final e interpretação didática: a série convergente exatamente quando |(2x-1)/5|<1, isto é para x estritamente entre -2 e 3. Em termos de centro e raio: centro x_{0}=\tfrac{1}{2} e raio R=\tfrac{5}{2}. Nos extremos x=-2 e x=3 a série diverge, então o intervalo de convergência é aberto.