Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2 x-1)^{k}}{5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o intervalo de convergência” da série de potência dada. A série fornecida é
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^{k}}{5^{k}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \dfrac{(2x-1)^{k}}{5^{k}}.
  • A variável da série é x.
  • A tarefa é determinar todos os valores de x para os quais essa soma infinita converge.

Passo 2

Identificação da forma da série (sem resolver ainda): observar que o termo geral pode ser reescrito como uma potência de uma razão comum. De fato,
\frac{(2x-1)^{k}}{5^{k}}=\left(\frac{2x-1}{5}\right)^{k}.
Séries do tipo \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} são séries geométricas. Então essa série é uma série geométrica com razão
r=\frac{2x-1}{5}.
Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (o que usaremos): a série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}
converge exatamente quando a razão satisfaz |r|<1. Nesse caso a soma vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge. A razão r aqui é um número (ou expressão em x) e a condição |r|<1 garante que os termos r^{k} tendem a zero quando k\to\infty, que é condição necessária e suficiente para convergência da geométrica.

Passo 3

Aplicar a condição de convergência geométrica ao nosso r. Queremos
\left|\frac{2x-1}{5}\right|<1.
Resolver essa desigualdade passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por 5 (número positivo, não inverte a desigualdade),
|2x-1|<5.
Agora escrever em forma composta:
-5<2x-1<5.
Somando 1 a todos os termos:
-4<2x<6.
Dividindo por 2 (positivo),
-2<x<3.
Outra maneira útil de ver isso é notar que |2x-1|=2|x-\tfrac{1}{2}|, portanto a condição é
2|x-\tfrac{1}{2}|<5\quad\Longrightarrow\quad |x-\tfrac{1}{2}|<\tfrac{5}{2},
o que mostra que a série é centrada em x_{0}=\tfrac{1}{2} e tem raio de convergência R=\tfrac{5}{2}. Mas a inequação já nos deu o intervalo interior de convergência (-2,3).

Passo 4

Testar os extremos do intervalo (é obrigatório sempre verificar os pontos em que |r|=1).
  1. Para x=-2:
    Calcular 2x-1:
2(-2)-1=-5.
O termo geral fica
\left(\frac{2x-1}{5}\right)^{k}=\left(\frac{-5}{5}\right)^{k}=(-1)^{k}.
A sequência de termos não tende a zero (oscila entre 1 e -1), logo pela condição necessária para convergência de séries (se a série converge então o termo geral tende a 0) concluímos que a série diverge em x=-2.
  1. Para x=3:
    Calcular 2x-1:
2(3)-1=5.
O termo geral fica
\left(\frac{2x-1}{5}\right)^{k}=\left(\frac{5}{5}\right)^{k}=1^{k}=1.
Aqui os termos não tendem a zero (são sempre 1), portanto a série também diverge em x=3.
Portanto ambos os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 5

Conclusão final e interpretação didática: a série convergente exatamente quando |(2x-1)/5|<1, isto é para x estritamente entre -2 e 3. Em termos de centro e raio: centro x_{0}=\tfrac{1}{2} e raio R=\tfrac{5}{2}. Nos extremos x=-2 e x=3 a série diverge, então o intervalo de convergência é aberto.

Resposta

(-2,3)

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