Esboce os seguintes campos Vetoriais:
F(x, y, z)=(0, y, z)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \;F(x,y,z)=(0,y,z)\; e pede que ele seja esboçado.
Informações explícitas que temos:
  • A componente na direção x é 0.
  • A componente na direção y é y.
  • A componente na direção z é z.
    O que se pede: um esboço (uma descrição gráfica suficiente para desenhar) do campo em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Entender o significado das componentes. Para um ponto (x,y,z) o vetor associado é
F(x,y,z)=(0,y,z).
Isso diz, em palavras simples:
  • Não há componente na direção x: o vetor nunca aponta para a direita/esquerda (segundo o eixo x).
  • As componentes nas direções y e z são exatamente as coordenadas y e z do ponto. Ou seja, o vetor em (x,y,z) é a projeção do vetor posição (x,y,z) no plano yz, isto é, (0,y,z).

Passo 3

Implicação prática imediata: o campo é independente de x.
Para qualquer x_1 e x_2 com as mesmas y,z temos
F(x_1,y,z)=F(x_2,y,z).
Portanto o padrão do campo nas fatias planas x= constante é o mesmo para todas as fatias; basta desenhar o campo no plano x=0 (o plano yz) e “empilhar” esse mesmo desenho ao longo do eixo x.

Passo 4

Descrever o campo no plano x= constante (isto é, no plano yz). No plano x=c o vetor em coordenadas y,z é (0,y,z). Isso é exatamente o campo radial do plano yz: no ponto (y,z) do plano o vetor aponta radialmente para fora do ponto origem (0,0) do plano yz e tem magnitude igual à distância ao centro. Matematicamente:
\text{magnitude }|F|=\sqrt{y^2+z^2}.
E a direção é a do vetor (y,z) no plano yz.

Passo 5

Exemplos concretos (úteis para desenhar no rascunho da prova):
  • Em (x,1,0): F=(0,1,0) — seta unitária na direção positiva de y.
  • Em (x,0,1): F=(0,0,1) — seta unitária na direção positiva de z.
  • Em (x,-1,0): F=(0,-1,0) — seta na direção negativa de y.
  • Em (x,0,-1): F=(0,0,-1) — seta na direção negativa de z.
  • Em (x,1,1): F=(0,1,1) — seta apontando para o quadrante y>0,z>0 com magnitude \sqrt{2}.
    Esses exemplos mostram que para cada linha paralela ao eixo x (fixando y,z) o vetor é o mesmo ao longo da linha.

Passo 6

Pontos e conjuntos especiais:
  • Eixo x (onde y=0 e z=0) é o conjunto de pontos onde F=0 (ponto crítico): \;F(x,0,0)=(0,0,0).
  • Planos y=0 dão vetores exclusivamente na direção z: (0,0,z).
  • Planos z=0 dão vetores exclusivamente na direção y: (0,y,0).

Passo 7

Forma unitária da direção (quando y e z não são ambos zero): a direção unitária do vetor é
\frac{F}{|F|}=\left(0,\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}\right).
Isto confirma que os vetores são sempre radiais no plano yz.

Passo 8

Propriedades diferenciáveis (útil para interpretar o campo):
  • O campo é gradiente de uma função escalar (portanto conserva direção radial sem circulação). Tomando
\varphi(y,z)=\tfrac{1}{2}\bigl(y^2+z^2\bigr)
temos
\nabla \varphi=(0,\partial\varphi/\partial y,\partial\varphi/\partial z)=(0,y,z)=F.
  • Divergência: calcular \nabla\cdot F:
\nabla\cdot F=\frac{\partial}{\partial x}(0)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z)=0+1+1=2.
Significado: há uma “fonte” homogênea de intensidade 2 espalhada pelo espaço (no sentido de divergência positiva).
  • Rotacional (curl): calcular \nabla\times F. As componentes dão zero; explicitamente,
\nabla\times F=(\partial_z y-\partial_y z,\\ \partial_x z-\partial_z 0,\\ \partial_y 0-\partial_x y)=(0,0,0).
Logo o campo é irrotacional (sem circulação local).

Passo 9

Como esboçar rapidamente na prova (receita passo a passo):
  1. Desenhe os três eixos x,y,z (por exemplo x para a direita, y para cima, z saindo da página).
  2. Pegue o plano x=0 (plano yz) e trace algumas setas radiais: no (y,z) desenhe setas que saem do centro com comprimento proporcional a \sqrt{y^2+z^2}. Use os exemplos do Passo 5 para posicionar algumas setas.
  3. Repita o mesmo desenho para um par de planos x=\pm 1 — os desenhos são idênticos nesses planos, apenas deslocados na direção x. Isso mostra que o campo é constante ao longo de retas paralelas ao eixo x.
  4. Marque claramente que no eixo x os vetores são nulos.
    Com isso obtém-se uma “coluna” de campos radiais no plano yz empilhadas ao longo do eixo x.

Passo 10

Observações intuitivas finais e dicas de interpretação:
  • Visualize o campo como um empilhamento infinito do mesmo padrão 2D (o campo radial no plano yz).
  • Vetores crescem linearmente com a distância ao eixo x.
  • Como é gradiente de \tfrac{1}{2}(y^2+z^2) e \nabla\times F=0, não há circulação: curvas fechadas no plano yz não acumulam trabalho.
  • Como \nabla\cdot F=2, existe uma tendência “a divergir” do eixo x (fluxo positivo saindo das regiões).

Resposta

O campo \;F(x,y,z)=(0,y,z)\; é independente de x. Em cada plano x= constante ele é o campo radial do plano yz: no ponto (x,y,z) o vetor aponta na direção (0,y,z) com magnitude \sqrt{y^2+z^2}. O eixo x é o lugar de vetores nulos. O padrão no plano yz é idêntico para todos os valores de x, formando uma “pilha” de campos radiais. Além disso, F=\nabla\bigl(\tfrac{1}{2}(y^2+z^2)\bigr), \nabla\cdot F=2 e \nabla\times F=0.

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