Esboce os seguintes campos Vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede que ele seja esboçado.
Informações explícitas que temos:
Informações explícitas que temos:
- A componente na direção
é . - A componente na direção
é . - A componente na direção
é .
O que se pede: um esboço (uma descrição gráfica suficiente para desenhar) do campo em.
Passo 2
Entender o significado das componentes. Para um ponto
o vetor associado é
Isso diz, em palavras simples:
- Não há componente na direção
: o vetor nunca aponta para a direita/esquerda (segundo o eixo ). - As componentes nas direções
e são exatamente as coordenadas e do ponto. Ou seja, o vetor em é a projeção do vetor posição no plano , isto é, .
Passo 3
Implicação prática imediata: o campo é independente de
.
Para qualquer e
com as mesmas
temos
Para qualquer
Portanto o padrão do campo nas fatias planas
constante é o mesmo para todas as fatias; basta desenhar o campo no plano
(o plano
) e “empilhar” esse mesmo desenho ao longo do eixo
.
Passo 4
Descrever o campo no plano
constante (isto é, no plano
). No plano
o vetor em coordenadas
é
. Isso é exatamente o campo radial do plano
: no ponto
do plano o vetor aponta radialmente para fora do ponto origem
do plano
e tem magnitude igual à distância ao centro. Matematicamente:
E a direção é a do vetor
no plano
.
Passo 5
Exemplos concretos (úteis para desenhar no rascunho da prova):
- Em
: — seta unitária na direção positiva de . - Em
: — seta unitária na direção positiva de . - Em
: — seta na direção negativa de . - Em
: — seta na direção negativa de . - Em
: — seta apontando para o quadrante com magnitude .
Esses exemplos mostram que para cada linha paralela ao eixo(fixando ) o vetor é o mesmo ao longo da linha.
Passo 6
Pontos e conjuntos especiais:
- Eixo
(onde e ) é o conjunto de pontos onde (ponto crítico): . - Planos
dão vetores exclusivamente na direção : . - Planos
dão vetores exclusivamente na direção : .
Passo 7
Forma unitária da direção (quando
e
não são ambos zero): a direção unitária do vetor é
Isto confirma que os vetores são sempre radiais no plano
.
Passo 8
Propriedades diferenciáveis (útil para interpretar o campo):
- O campo é gradiente de uma função escalar (portanto conserva direção radial sem circulação). Tomando
temos
- Divergência: calcular
:
Significado: há uma “fonte” homogênea de intensidade 2 espalhada pelo espaço (no sentido de divergência positiva).
- Rotacional (curl): calcular
. As componentes dão zero; explicitamente,
Logo o campo é irrotacional (sem circulação local).
Passo 9
Como esboçar rapidamente na prova (receita passo a passo):
- Desenhe os três eixos
(por exemplo para a direita, para cima, saindo da página). - Pegue o plano
(plano ) e trace algumas setas radiais: no desenhe setas que saem do centro com comprimento proporcional a . Use os exemplos do Passo 5 para posicionar algumas setas. - Repita o mesmo desenho para um par de planos
— os desenhos são idênticos nesses planos, apenas deslocados na direção . Isso mostra que o campo é constante ao longo de retas paralelas ao eixo . - Marque claramente que no eixo
os vetores são nulos.
Com isso obtém-se uma “coluna” de campos radiais no planoempilhadas ao longo do eixo .
Passo 10
Observações intuitivas finais e dicas de interpretação:
- Visualize o campo como um empilhamento infinito do mesmo padrão 2D (o campo radial no plano
). - Vetores crescem linearmente com a distância ao eixo
. - Como é gradiente de
e , não há circulação: curvas fechadas no plano não acumulam trabalho. - Como
, existe uma tendência “a divergir” do eixo (fluxo positivo saindo das regiões).
Resposta
O campo
é independente de
. Em cada plano
constante ele é o campo radial do plano
: no ponto
o vetor aponta na direção
com magnitude
. O eixo
é o lugar de vetores nulos. O padrão no plano
é idêntico para todos os valores de
, formando uma “pilha” de campos radiais. Além disso,
,
e
.