Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar separadamente os casos e .
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a . Calculamos
Logo, o raio de convergência é
R=1L=1
Passo 3
Pela conclusão do teste da razão, a série converge absolutamente para
|x|<1
e diverge para
|x|>1
Restam apenas os extremos x=1 e x=-1.
Passo 4
Em x=1 a série vira
sumn=0^inftynn^2+1
Como nn^2+1sim1n quando ntoinfty, pelo teste de comparação com a série harmônica essa série diverge.
Passo 5
Em x=-1 a série é
sumn=0^infty(-1)^nnn^2+1
Para n>=2, a sequência bn=nn^2+1 é positiva, decrescente (pois a derivada de x/(x^2+1) é negativa para x>1) e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, a série alternante converge condicionalmente.