Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty nn^2+1 x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty nn^2+1,x^n
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar separadamente os casos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a an=nn^2+1. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty n+1(n+1)^2+1 nn^2+1 =limntoinfty (n+1)(n^2+1)nl((n+1)^2+1r)=1
Logo, o raio de convergência é
R=1L=1

Passo 3

Pela conclusão do teste da razão, a série converge absolutamente para
|x|<1
e diverge para
|x|>1
Restam apenas os extremos x=1 e x=-1.

Passo 4

Em x=1 a série vira
sumn=0^inftynn^2+1
Como nn^2+1sim1n quando ntoinfty, pelo teste de comparação com a série harmônica essa série diverge.

Passo 5

Em x=-1 a série é
sumn=0^infty(-1)^nnn^2+1
Para n>=2, a sequência bn=nn^2+1 é positiva, decrescente (pois a derivada de x/(x^2+1) é negativa para x>1) e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, a série alternante converge condicionalmente.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,,1)

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