Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty 2^n(2 n)!,x^2 n
Este é um problema de séries de potências em que vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
bn = 2^n(2n)!,x^2n
Para aplicar o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty|bn+1bn|

Passo 3

Compute-se a razão entre termos consecutivos:
bn+1bn = 2^n+1(2(n+1))!,x^2(n+1)2^n(2n)!,x^2n = 2,x^2;(2n)!(2n+2)! = 2,x^2;1(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty2,x^2;1(2n+2)(2n+1) = 0
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 5

O teste da razão mostra que o raio de convergência é
R = infty
Portanto, o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

O intervalo de convergência é R, ou seja, (-infty,infty).

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