Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^inftyx^2n+1(-4)^n
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências e vamos usar a ideia de reescrever como série geométrica para encontrar o raio (e intervalo) de convergência.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
x^2n+1(-4)^n = x;(x^2)^n(-4)^n = x;gl(x^2-4gr)^n = x;l(-1r)^nl(x^24r)^n
Logo a série é
sumn=0^inftyx,(-1)^nl(x^24r)^n = xsumn=0^inftyl(-x^24r)^n,
que é uma série geométrica de razão
r = -x^24

Passo 3

Uma série geométrica sum r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Portanto aqui precisamos de
llvert -x^24rrvert<1 Longrightarrow x^24<1 Longrightarrow x^2<4 Longrightarrow lvert xrvert<2
Assim o raio de convergência é R=2.

Passo 4

Faltam os testes nos extremos x=2 e x=-2.
  • Para x=2, o termo geral vira
    ;2,(-1)^n(2^2/4)^n=2,(-1)^n, que não tende a zero, logo a série diverge.
  • Para x=-2, o termo geral vira
    -2,(-1)^n((-2)^2/4)^n=-2,(-1)^n, que também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é ,(-2,2).

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