Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências e vamos usar a ideia de reescrever como série geométrica para encontrar o raio (e intervalo) de convergência.
Passo 2
Reescrevendo o termo geral, temos
Logo a série é
que é uma série geométrica de razão
Passo 3
Uma série geométrica converge se, e somente se, . Portanto aqui precisamos de
Assim o raio de convergência é R=2.
Passo 4
Faltam os testes nos extremos x=2 e x=-2.
Para x=2, o termo geral vira ;2,(-1)^n(2^2/4)^n=2,(-1)^n, que não tende a zero, logo a série diverge.
Para x=-2, o termo geral vira -2,(-1)^n((-2)^2/4)^n=-2,(-1)^n, que também não tende a zero, logo diverge.