Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O método mais direto aqui é o teste da razão, que nos dá o raio de convergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão, calculando
O teste diz que a série converge se
L<1 .
Passo 3
Da condição
9,|x-2|<1 segue
Portanto o raio de convergência é
R=tfrac19 e o intervalo aberto é
Passo 4
Verificamos os extremos:
- Em
temosx = 2 + tfrac19 , e(x-2)^n=(tfrac19)^n
A série
sum tfrac1n+1 é a série harmônica deslocada, logo diverge.
Passo 5
Em
x = 2 - tfrac19 temos
(x-2)^n=(-tfrac19)^n , e
Essa é uma série alternante cujos termos
tfrac1n+1 decrescem a zero, então converge por teste de Leibniz.
Resposta
O intervalo de convergência é