Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty 3^2 nn+1(x-2)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=2:
sumn=0^infty an (x-2)^n, an = 3^2nn+1
O método mais direto aqui é o teste da razão, que nos dá o raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty |an+1(x-2)^n+1an(x-2)^n| = limntoinfty 3^2(n+1)n+2,n+13^2n,|x-2| = limntoinfty9n+1n+2,|x-2| =9,|x-2|
O teste diz que a série converge se L<1.

Passo 3

Da condição 9,|x-2|<1 segue
|x-2|<19
Portanto o raio de convergência é R=tfrac19 e o intervalo aberto é
2 - 19 < x < 2 + 19

Passo 4

Verificamos os extremos:
  1. Em x = 2 + tfrac19 temos (x-2)^n=(tfrac19)^n, e
an(x-2)^n =3^2nn+1,19^n =9^nn+1,19^n =1n+1
A série sum tfrac1n+1 é a série harmônica deslocada, logo diverge.

Passo 5

Em x = 2 - tfrac19 temos (x-2)^n=(-tfrac19)^n, e
an(x-2)^n =9^nn+1,(-1)^n19^n =(-1)^nn+1
Essa é uma série alternante cujos termos tfrac1n+1 decrescem a zero, então converge por teste de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é
l[,2-tfrac19,,2+tfrac19r) ;=; l[tfrac179,,tfrac199r)

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