Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty(-1)^n-1 x^nraizn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^,n-1,x^nraizn
O conteúdo aqui é séries de potências: primeiro usamos o teste da raiz para encontrar o raio de convergência R e depois analisamos a convergência nos pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à série geral. Seja
an(x)=(-1)^,n-1,x^nraizn
Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|an(x)r| =limntoinftyraiz[n]|x|^nraizn =|x|;limntoinftyn^-tfrac12n =|x|cdot1 =|x|
O teste da raiz diz que a série converge se limraiz[n]|an(x)|<1, ou seja
|x|<1
Portanto o raio de convergência é R=1 e obtemos convergência absoluta para |x|<1.

Passo 3

Analisamos x=1. A série torna-se
sumn=1^infty(-1)^,n-1,1raizn
Os termos tfrac1raizn são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternada), essa série converge (condicionalmente).

Passo 4

Analisamos x=-1. A série fica
sumn=1^infty(-1)^,n-1,(-1)^nraizn =sumn=1^infty(-1)^2n-1,1raizn =-sumn=1^infty1raizn
Isso é, até um sinal, a série sum1/raizn, que é uma série p com p=tfrac12<=1, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-1,,1]

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