Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é séries de potências: primeiro usamos o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois analisamos a convergência nos pontos extremos e .
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz à série geral. Seja
Calculamos
O teste da raiz diz que a série converge se limraiz[n]|an(x)|<1, ou seja
|x|<1
Portanto o raio de convergência é R=1 e obtemos convergência absoluta para |x|<1.
Passo 3
Analisamos x=1. A série torna-se
sumn=1^infty(-1)^,n-1,1raizn
Os termos tfrac1raizn são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternada), essa série converge (condicionalmente).