Encontre o raio de convergência da série de potências.
sumn=0^infty(-1)^n 1 cdot 3 cdot 5 ldots(2 n-1)3 cdot 6 cdot 9 ldots(3 n) x^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)3cdot6cdot9cdots(3n),x^n
O conteúdo aqui é raio de convergência de série de potências e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, é conveniente escrever em termos de fatoriais e binomial. Primeiro note que
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!,
3cdot6cdot9cdots(3n)=3^n,n!
Logo o coeficiente geral é
an = (-1)^n(2n)!2^n3^n,(n!)^2 = (-1)^nbinom2nn6^n

Passo 3

Pelo teste da razão, consideramos
L = limntoinftygl|an+1,x^n+1an,x^ngr| = limntoinftyl|an+1anr|;|x|
Como
an+1an = binom2n+2,n+1,/6^,n+1binom2nn/6^n = binom2n+2,n+1,6,binom2nn
e
binom2n+2n+1 = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2,binom2nn,
segue que
l|an+1anr| = (2n+2)(2n+1)6,(n+1)^2 = 2n+13(n+1)

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinfty2n+13(n+1)=23,
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L=23,|x|
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja
23,|x|<1 Longrightarrow |x|<32
Portanto o raio de convergência é R=tfrac32.

Resposta

O raio de convergência é R=tfrac32.

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