Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty x^nn+4

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^inftyx^nn+4
O conteúdo é convergência de séries de potências, para o qual usamos o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testamos os pontos extremos.

Passo 2

Aplique o teste da razão. Defina an=tfrac1n+4, de modo que o termo geral é an x^n. Calcule
L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty|x|n+4n+5 =|x|
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, para |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Teste o extremo x=1. A série fica
sumn=0^infty1n+4,
que diverge por comparação com a série harmônica. Portanto não converge em x=1.

Passo 4

Teste o extremo x=-1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn+4
Os termos tfrac1n+4 são positivos, monoticamente decrescentes e tendem a zero, então pela convergência condicional do critério de Leibniz essa série converge em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é [-1,1).

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