Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é convergência de séries de potências, para o qual usamos o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testamos os pontos extremos.
Passo 2
Aplique o teste da razão. Defina , de modo que o termo geral é . Calcule
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja, para |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Teste o extremo x=1. A série fica
sumn=0^infty1n+4,
que diverge por comparação com a série harmônica. Portanto não converge em x=1.
Passo 4
Teste o extremo x=-1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn+4
Os termos tfrac1n+4 são positivos, monoticamente decrescentes e tendem a zero, então pela convergência condicional do critério de Leibniz essa série converge em x=-1.