Exercício 59
Seja f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2. Verifique que
x partial fpartial x+y partial fpartial y+z partial fpartial z=-2 f

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y,z)=1x^2+y^2+z^2 e pede para verificar que
x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z = -2f
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Defina u = x^2+y^2+z^2, então f = u^-1. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x = ddul(u^-1r),partial upartial x = (-1)u^-2cdot(2x) = -2xu^2
De modo análogo,
partial fpartial y = -2yu^2, partial fpartial z = -2zu^2

Passo 3

Agora multiplicamos cada derivada pela respectiva variável e somamos:
xpartial fpartial x + ypartial fpartial y + zpartial fpartial z = xl(-tfrac2xu^2r) + yl(-tfrac2yu^2r) + zl(-tfrac2zu^2r) = -2(x^2+y^2+z^2)u^2
Como u = x^2+y^2+z^2, isso se simplifica a
-2uu^2 = -2u = -2f

Resposta

Está verificado que
x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z = -2f

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