Encontre o intervalo de convergência das séries a seguir:
\sum_{n \geq 1}(-1)^{n} \frac{(x-3)^{n}}{2 n+n^{10}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=3:
\sum_{n\ge 1} (-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{2n+n^{10}}.
O que pede o problema: encontrar o intervalo de convergência, isto é, todos os valores de x para os quais a série converge. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A série é uma série em potências de (x-3), portanto tem centro em 3.
  • O coeficiente geral da potência (x-3)^{n} é a_n = (-1)^n/(2n+n^{10}).
  • É preciso determinar o raio de convergência e testar separadamente os pontos finais x=3\pm R.

Passo 2

Como encontrar o raio de convergência R. Para uma série de potências \sum a_n (x-3)^n o raio de convergência pode ser obtido por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Aqui a_n = (-1)^n/(2n+n^{10}), logo
|a_n|^{1/n}=\frac{1}{(2n+n^{10})^{1/n}}.
Agora calculamos o limite (ou o limsup) quando n\to\infty. Note que
2n+n^{10}=n^{10}\Bigl(1+\frac{2n}{n^{10}}\Bigr)=n^{10}\Bigl(1+2n^{-9}\Bigr),
então
\ln(2n+n^{10})=\ln\bigl(n^{10}\bigr)+\ln\bigl(1+2n^{-9}\bigr)=10\ln n+\ln\bigl(1+2n^{-9}\bigr).
Dividindo por n e lembrando que \ln n / n \to 0 quando n\to\infty, obtemos
\frac{1}{n}\ln(2n+n^{10})=\frac{10\ln n}{n}+\frac{\ln(1+2n^{-9})}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Portanto
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty} e^{-(1/n)\ln(2n+n^{10})}=e^{0}=1.
Assim \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1 e o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário intuitivo: para grandes n tem-se a_n\sim n^{-10}, e a raiz n-ésima de n^{-10} tende a 1, daí o raio 1.

Passo 3

Com R=1 a região onde a série converge absolutamente (pelo teste do raio) é
|x-3|<1,
isto é o intervalo aberto (2,4). Agora é obrigatório testar os pontos finais x=2 e x=4 separadamente, porque o teste do raio não diz se eles pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 4

Teste no extremo x=4. Substituindo x=4 na série:
x-3=1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{n\ge 1}(-1)^n\frac{1^n}{2n+n^{10}}=\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{2n+n^{10}}.
Para estudar convergência absoluta, olhamos a série das magnitudes:
\sum_{n\ge 1}\left|\frac{(-1)^n}{2n+n^{10}}\right|=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{2n+n^{10}}.
Como para todo n\ge 1 vale 2n+n^{10}\ge n^{10}, obtemos
\frac{1}{2n+n^{10}}\le\frac{1}{n^{10}}.
A série \sum_{n\ge 1} \dfrac{1}{n^{10}} é uma p-série com p=10>1 e converge. Pelo teste da comparação a série \sum \dfrac{1}{2n+n^{10}} converge, logo a série original converge absolutamente em x=4. Portanto x=4 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Teste no extremo x=2. Substituindo x=2:
x-3=-1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{n\ge 1}(-1)^n\frac{(-1)^n}{2n+n^{10}}=\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{2n}}{2n+n^{10}}=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{2n+n^{10}}.
Esta é uma série de termos positivos idêntica à da magnitude do caso anterior. Como já vimos,
\frac{1}{2n+n^{10}}\le\frac{1}{n^{10}}
e \sum 1/n^{10} converge. Logo \sum \dfrac{1}{2n+n^{10}} converge por comparação, isto é, a série converge absolutamente em x=2. Portanto x=2 também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Conclusão combinada: o raio de convergência é R=1, a série converge para todos x com |x-3|<1 e converge também nos dois extremos x=2 e x=4. Assim o intervalo de convergência é o intervalo fechado de extremos 2 e 4.

Resposta

[2,4]

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