O que pede o problema: encontrar o intervalo de convergência, isto é, todos os valores de x para os quais a série converge. Informações relevantes que já estão no enunciado:
A série é uma série em potências de (x-3), portanto tem centro em 3.
O coeficiente geral da potência (x-3)^{n} é a_n = (-1)^n/(2n+n^{10}).
É preciso determinar o raio de convergência e testar separadamente os pontos finais x=3\pm R.
Passo 2
Como encontrar o raio de convergência R. Para uma série de potências \sum a_n (x-3)^n o raio de convergência pode ser obtido por
Assim \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1 e o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário intuitivo: para grandes n tem-se a_n\sim n^{-10}, e a raiz n-ésima de n^{-10} tende a 1, daí o raio 1.
Passo 3
Com R=1 a região onde a série converge absolutamente (pelo teste do raio) é
|x-3|<1,
isto é o intervalo aberto (2,4). Agora é obrigatório testar os pontos finais x=2 e x=4 separadamente, porque o teste do raio não diz se eles pertencem ao intervalo de convergência.
Como para todo n\ge 1 vale 2n+n^{10}\ge n^{10}, obtemos
\frac{1}{2n+n^{10}}\le\frac{1}{n^{10}}.
A série \sum_{n\ge 1} \dfrac{1}{n^{10}} é uma p-série com p=10>1 e converge. Pelo teste da comparação a série \sum \dfrac{1}{2n+n^{10}} converge, logo a série original converge absolutamente em x=4. Portanto x=4 pertence ao intervalo de convergência.
Esta é uma série de termos positivos idêntica à da magnitude do caso anterior. Como já vimos,
\frac{1}{2n+n^{10}}\le\frac{1}{n^{10}}
e \sum 1/n^{10} converge. Logo \sum \dfrac{1}{2n+n^{10}} converge por comparação, isto é, a série converge absolutamente em x=2. Portanto x=2 também pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Conclusão combinada: o raio de convergência é R=1, a série converge para todos x com |x-3|<1 e converge também nos dois extremos x=2 e x=4. Assim o intervalo de convergência é o intervalo fechado de extremos 2 e 4.