(6,0) Considere a expansão
\ln (1+x)=\sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^{k-1} x^{k}}{k}
Determine os valores de x para os quais (1) é válida. Em seguida, utilize (1) a fim de determinar a série de Taylor, centrada em 0, da função f(x)=1 /(x+1), bem como seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado fornece a expansão
\ln(1+x)=\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}
e pede duas coisas:
  • Determinar para quais valores de x essa igualdade (1) é válida (ou seja, o intervalo de convergência da série à direita).
  • Usar (1) para obter a série de Taylor centrada em 0 da função f(x)=\dfrac{1}{1+x} e indicar o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas:
  • A série de potência para \ln(1+x) é fornecida em (1) com termos \dfrac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}, k\ge1.
  • Queremos estudar convergência (valor de x) e também manipular a série (por exemplo diferenciando termo a termo) para obter a série de f(x)=1/(1+x).

Passo 2

Determinar o raio de convergência da série (1) pelo teste da razão.
Considere os termos a_k=\dfrac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}. Aplicando o teste da razão para |a_{k+1}/a_k|:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{(-1)^{k}x^{k+1}/(k+1)}{(-1)^{k-1}x^{k}/k}\right| = |x|\cdot\frac{k}{k+1}.
Tomando o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = |x|\cdot\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}=|x|.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente sempre que |x|<1 e diverge quando |x|>1. Portanto o raio de convergência é 1, ou seja a série converge (pelo menos) para |x|<1. Ainda falta analisar os pontos finais |x|=1.

Passo 3

Analisar os extremos x=1 e x=-1.
  • Para x=1 a série fica
\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}}{k},
que é a série alternada \,1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots. Pelo teste da série alternada de Leibniz (os termos em valor absoluto \tfrac1k decrescem para 0), essa série converge. O valor limite é \ln 2, o que coincide com \ln(1+1).
  • Para x=-1 a série fica
\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}(-1)^k}{k}=\sum_{k\ge1}\frac{-1}{k}=-\sum_{k\ge1}\frac{1}{k},
que é (menos) a série harmônica e diverge. Além disso \ln(1+(-1))=\ln 0 não está definida, então não se espera convergência para x=-1.
Conclusão desta etapa: a série (1) converge para |x|<1 e também converge no ponto x=1, mas diverge em x=-1. Portanto a série (1) é válida para
-1<x\le 1.

Passo 4

Obter a série de Taylor de f(x)=\dfrac{1}{1+x} usando (1).
Uma maneira direta e clássica é diferenciar (1) termo a termo dentro do intervalo onde a diferenciação term a termo é permitida (ou seja, para -1<x<1, interior do raio de convergência). Diferenciando ambos os lados de
\ln(1+x)=\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k}
obtemos, à esquerda,
\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x},
e à direita, derivando termo a termo (válido para -1<x<1):
\frac{d}{dx}\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k-1}x^{k}}{k} =\sum_{k\ge 1}(-1)^{k-1}x^{k-1}.
Assim
\frac{1}{1+x}=\sum_{k\ge 1}(-1)^{k-1}x^{k-1}.
Fazendo a mudança de índice n=k-1 (onde n\ge0) obtemos a forma padrão da série de potências:
\frac{1}{1+x}=\sum_{n\ge 0}(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots.
Uma verificação alternativa e mais direta é usar a soma da série geométrica: para |x|<1,
\sum_{n\ge 0}(-x)^{n}=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x},
o que fornece a mesma expressão.

Passo 5

Determinar o intervalo de convergência da série de f(x)=1/(1+x).
A série geométrica \sum_{n\ge0}(-1)^{n}x^{n} tem raio de convergência 1. Verificando os extremos:
  • Em x=1 a série é 1-1+1-1+\cdots, que não converge (oscila).
  • Em x=-1 a série é 1+1+1+\cdots, que diverge.
Portanto o intervalo de convergência da série de f é |x|<1, isto é
-1<x<1.

Resposta

A série (1) é válida para -1<x\le 1.
\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n\ge 0}(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots,\quad\text{com intervalo de convergência }-1<x<1.ê

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