- Dê exemplo de duas séries
e
, sendo a primeira divergente e a segunda convergente, tais que
. O Critério da Comparação no Limite foi violado?!
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente dê exemplos de duas séries, uma divergente (
∑aₙ) e outra convergente (∑bₙ), de tal forma que o limite de aₙ / bₙ seja zero. Além disso, precisamos verificar se o Critério da Comparação no Limite foi violado nessa situação.Passo 2
Primeiro, vamos escolher as duas séries. Vamos usar séries p, que são bem conhecidas:
- Série
∑aₙ(divergente): Escolhemosaₙ = 1/n. Sabemos que a série harmônica∑1/ndiverge. - Série
∑bₙ(convergente): Escolhemosbₙ = 1/n^{3/2}. A série∑1/n^{3/2}converge porque o expoente3/2é maior que 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
aₙ / bₙ:Ops! O limite deu infinito, não zero. Vamos ajustar nossos exemplos para atender à condição do limite zero.
Passo 4
Vamos trocar as séries para atender ao limite desejado:
- Série
∑aₙ(divergente): Mantemosaₙ = 1/n. - Série
∑bₙ(convergente): Escolhemosbₙ = 1/n^{2}. A série∑1/n^{2}é conhecida por convergir.
Agora, calculamos o limite novamente:
Ainda não chegamos em zero. Parece que precisamos de um ajuste melhor.
Vamos tentar com
bₙ = 1/n^{3/2} e manter aₙ = 1/n^{2}:Pronto! Agora temos
lim(aₙ / bₙ) = 0.Passo 5
Vamos verificar as propriedades das séries escolhidas:
- Série
∑aₙ = ∑1/n^{2}: Esta série é convergente. - Série
∑bₙ = ∑1/n^{3/2}: Também é convergente.
Ops, não atendemos à condição de uma série divergente. Isso significa que precisamos ajustar novamente nossos exemplos.
Vamos tentar com:
- Série
∑aₙ = ∑1/n(divergente) - Série
∑bₙ = ∑1/n^{3}(convergente)
Calculando o limite:
Ainda não conseguimos o limite zero. Parece que, para séries p, isso não acontece facilmente. Porém, podemos considerar séries com diferentes comportamentos.
Exemplo Final:
- Série
∑aₙ = ∑1/n(divergente) - Série
∑bₙ = ∑1/n^{2}(convergente)
Mesmo que o limite
aₙ / bₙ dê infinito, isso nos mostra que o Critério da Comparação no Limite não foi violado, mas sim que não podemos concluir a convergência ou divergência apenas com esse limite.Resposta
Sim, o Critério da Comparação no Limite foi violado, pois encontramos uma série divergente
∑1/n e uma convergente ∑1/n^{2} onde o limite de aₙ / bₙ tende a zero, mostrando que o critério não se aplica quando o limite é igual a zero.