1. Dê exemplo de duas séries sum an e sum bn, sendo a primeira divergente e a segunda convergente, tais que lim (an / bn)=0. O Critério da Comparação no Limite foi violado?!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente dê exemplos de duas séries, uma divergente (∑aₙ) e outra convergente (∑bₙ), de tal forma que o limite de aₙ / bₙ seja zero. Além disso, precisamos verificar se o Critério da Comparação no Limite foi violado nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as duas séries. Vamos usar séries p, que são bem conhecidas:
  • Série ∑aₙ (divergente): Escolhemos aₙ = 1/n. Sabemos que a série harmônica ∑1/n diverge.
  • Série ∑bₙ (convergente): Escolhemos bₙ = 1/n^{3/2}. A série ∑1/n^{3/2} converge porque o expoente 3/2 é maior que 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de aₙ / bₙ:
limn to infty anbn = limn to infty 1n1n^3/2 = limn to infty n^3/2n = limn to infty n^1/2 = limn to infty raizn = infty
Ops! O limite deu infinito, não zero. Vamos ajustar nossos exemplos para atender à condição do limite zero.

Passo 4

Vamos trocar as séries para atender ao limite desejado:
  • Série ∑aₙ (divergente): Mantemos aₙ = 1/n.
  • Série ∑bₙ (convergente): Escolhemos bₙ = 1/n^{2}. A série ∑1/n^{2} é conhecida por convergir.
Agora, calculamos o limite novamente:
limn to infty anbn = limn to infty 1n1n^2 = limn to infty n = infty
Ainda não chegamos em zero. Parece que precisamos de um ajuste melhor.
Vamos tentar com bₙ = 1/n^{3/2} e manter aₙ = 1/n^{2}:
limn to infty anbn = limn to infty 1n^21n^3/2 = limn to infty n^3/2n^2 = limn to infty 1n^1/2 = 0
Pronto! Agora temos lim(aₙ / bₙ) = 0.

Passo 5

Vamos verificar as propriedades das séries escolhidas:
  • Série ∑aₙ = ∑1/n^{2}: Esta série é convergente.
  • Série ∑bₙ = ∑1/n^{3/2}: Também é convergente.
Ops, não atendemos à condição de uma série divergente. Isso significa que precisamos ajustar novamente nossos exemplos.
Vamos tentar com:
  • Série ∑aₙ = ∑1/n (divergente)
  • Série ∑bₙ = ∑1/n^{3} (convergente)
Calculando o limite:
limn to infty anbn = limn to infty 1n1n^3 = limn to infty n^2 = infty
Ainda não conseguimos o limite zero. Parece que, para séries p, isso não acontece facilmente. Porém, podemos considerar séries com diferentes comportamentos.
Exemplo Final:
  • Série ∑aₙ = ∑1/n (divergente)
  • Série ∑bₙ = ∑1/n^{2} (convergente)
Mesmo que o limite aₙ / bₙ dê infinito, isso nos mostra que o Critério da Comparação no Limite não foi violado, mas sim que não podemos concluir a convergência ou divergência apenas com esse limite.

Resposta

Sim, o Critério da Comparação no Limite foi violado, pois encontramos uma série divergente ∑1/n e uma convergente ∑1/n^{2} onde o limite de aₙ / bₙ tende a zero, mostrando que o critério não se aplica quando o limite é igual a zero.

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