Encontre: os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
f(x)=ln (2+x^2)

Passo 1

Estamos com a função f(x)=ln(2+x²). O conteúdo é análise de funções via derivadas: primeiro vamos achar onde f é crescente/decrescente e identificar extremos relativos usando a primeira derivada; depois vamos estudar a concavidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada.

Passo 2

Para achar a primeira derivada, aplicamos a regra da cadeia. Seja u(x)=2+x², então u’(x)=2x. Como f(x)=ln(u), f’(x)=u’/u. Assim obtemos:
f'(x)=2x2+x^2

Passo 3

Agora determinamos o sinal de f’(x). O denominador 2+x² é sempre positivo. Logo o sinal de f’(x) vem de 2x:
  • Para x>0: 2x>0 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f é crescente.
  • Para x<0: 2x<0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f é decrescente.
    Em x=0, f’(0)=0 e f’ muda de negativo para positivo, indicando um mínimo relativo em x=0. O valor é f(0)=ln(2).

Passo 4

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada usando a regra do quociente em f’(x)=2x/(2+x²). Fazendo (v·u’ – u·v’)/v², onde u=2x e v=2+x²:
f''(x)=2(2+x^2)-2x·2x(2+x^2)^2 = 4+2x^2-4x^2(2+x^2)^2=2(2-x^2)(2+x^2)^2

Passo 5

Estudamos o sinal de f’’(x) com base no numerador 2(2-x²):
  • 2-x²>0 ⇔ |x|<√2 ⇒ f’’(x)>0 ⇒ f é côncava para cima em (−√2,√2).
  • 2-x²<0 ⇔ |x|>√2 ⇒ f’’(x)<0 ⇒ f é côncava para baixo em (−∞,−√2)∪(√2,∞).
    Onde f’’(x)=0 em x=±√2, havendo mudança de concavidade nesses pontos, logo são pontos de inflexão. Avaliando f(±√2)=ln(2+(√2)²)=ln4.

Passo 6

Resumindo os resultados obtidos:

Resposta

f é crescente em (0,∞) e decrescente em (−∞,0).
Há um mínimo relativo em x=0 com f(0)=ln2.
f é côncava para cima em (−√2,√2) e côncava para baixo em (−∞,−√2)∪(√2,∞).
Os pontos de inflexão ocorrem em x=±√2, com f(±√2)=ln4.

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