Nos exercícios 63 a 68 , identifique alpha valores máximos e mínimos e as raízes da função no intervalo [-2 pi, 2 pi].
y=-2 sen x

Passo 1

O exercício pede para identificar os valores máximos, mínimos e as raízes da função y = -2senx no intervalo [-2pi,2pi]. O conteúdo necessário é análise de funções trigonométricas, em especial amplitude, zeros e pontos extremos de senx.

Passo 2

A amplitude da função y = -2senx é 2, e o sinal negativo faz com que a onda de seno fique invertida. Logo o valor máximo de y será +2 quando senx = -1, e o valor mínimo será -2 quando senx = 1.

Passo 3

Para encontrar os pontos de máximo, resolvemos
[
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições senx = -1 e y = -2(-1)=2. Agora selecionamos os valores de x no intervalo [-2pi,2pi]: para k=0 temos x = -tfracpi2; para k=1 temos x = -tfracpi2 + 2pi = tfrac3pi2. Esses são os únicos no intervalo.

Passo 4

Para encontrar os pontos de mínimo, resolvemos
[
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições senx = 1 e y = -2(1)=-2. Avaliando no intervalo: para k=0 temos x = tfracpi2; para k=-1 temos x = tfracpi2-2pi = -tfrac3pi2.

Passo 5

As raízes da função ocorrem quando y=0, ou seja senx=0, cujo conjunto geral é
[
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
No intervalo [-2pi,2pi] isso dá x = -2pi, -pi, 0, pi, 2pi.

Resposta

Máximos: em x = -tfracpi2 e x = tfrac3pi2, com y=2. Mínimos: em x = -tfrac3pi2 e x = tfracpi2, com y=-2. Raízes: x = -2pi, -pi, 0, pi, 2pi.

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