Nos exercícios 63 a 68 , identifique
valores máximos e mínimos e as raízes da função no intervalo
.
Passo 1
O exercício pede para identificar os valores máximos, mínimos e as raízes da função
no intervalo
. O conteúdo necessário é análise de funções trigonométricas, em especial amplitude, zeros e pontos extremos de
.
Passo 2
A amplitude da função
é 2, e o sinal negativo faz com que a onda de seno fique invertida. Logo o valor máximo de
será
quando
, e o valor mínimo será
quando
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de máximo, resolvemos
[
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições e
. Agora selecionamos os valores de
no intervalo
: para
temos
; para
temos
. Esses são os únicos no intervalo.
[
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições
Passo 4
Para encontrar os pontos de mínimo, resolvemos
[
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições e
. Avaliando no intervalo: para
temos
; para
temos
.
[
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},
]
pois nessas posições
Passo 5
As raízes da função ocorrem quando
, ou seja
, cujo conjunto geral é
[
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
No intervalo isso dá
.
[
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
No intervalo
Resposta
Máximos: em
e
, com
. Mínimos: em
e
, com
. Raízes:
.