Resolver as inequações:
(f) x^4 e x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação com a condição de que está entre -1 e 1, excluindo zero. Isso envolve conhecimentos de inequações polinomiais e propriedades dos expoentes. Vamos precisar manipular a inequação para encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da inequação para facilitar a análise. Subtraindo x^4 - x^2 < 0 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, fatoramos a expressão à esquerda. Podemos fatorar x^2(x^2 - 1) < 0 em comum:

Passo 4

Perceba que x^2(x - 1)(x + 1) < 0 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 5

Agora, temos a inequação fatorada:
x^2(x - 1)(x + 1) < 0
Vamos analisar os sinais de cada fator. Sabemos que é sempre positivo, exceto quando , que já está excluído pela condição .

Passo 6

Portanto, a inequação depende apenas do sinal de (x - 1)(x + 1) < 0 . Vamos encontrar quando esse produto é negativo:
Isso ocorre quando os fatores têm sinais opostos.

Passo 7

Vamos analisar os intervalos determinados pelos pontos críticos e :
  • Para : e , então o produto é negativo.
  • Para ou : Ambos os fatores têm o mesmo sinal, então o produto é positivo.

Passo 8

Como estamos considerando apenas , e nesse intervalo o produto é negativo, a inequação é satisfeita para todos os nesse intervalo, exceto .

Resposta

A solução da inequação -1 < x < 1 e x neq 0 é todo número real que está entre -1 e 1, excluindo zero. Ou seja:

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