Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e os valores máximo e mínimo locais de f, sendo f(x)=x^3-3 x^2-9 x+4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos nos quais a função
f(x)=x^3-3x^2-9x+4
é crescente ou decrescente e também identificar os extremos locais. Para isso, vamos usar derivada, pontos críticos e teste de sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=x^3-3x^2-9x+4,
temos
f'(x)=3x^2-6x-9

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^2-6x-9=0 Longrightarrow x^2-2x-3=0
As raízes desta equação são
x=2pmraiz4+122=2pm42,
ou seja
x=-1 e x=3

Passo 4

Para saber onde f cresce ou decresce, testamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  • Em x<-1, por exemplo x=-2: f'(-2)=3cdot4-6cdot(-2)-9=12+12-9=15>0, logo f é crescente em (-infty,-1).
  • Em -1<x<3, por exemplo x=0: f'(0)=-9<0, logo f é decrescente em (-1,3).
  • Em x>3, por exemplo x=4: f'(4)=3cdot16-6cdot4-9=48-24-9=15>0, logo f é novamente crescente em (3,infty).

Passo 5

Concluímos que
f é crescente em (-infty,-1)cup(3,infty) e f é decrescente em (-1,3) éé

Passo 6

Os extremos locais ocorrem onde f' muda de sinal:
  • Em x=-1, f' vai de positivo para negativo, logo há um máximo local.
    Calculando f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+4=-1-3+9+4=9
  • Em x=3, f' vai de negativo para positivo, logo há um mínimo local.
    Calculando f(3)=3^3-3cdot3^2-9cdot3+4=27-27-27+4=-23

Resposta

f é crescente em (-infty,-1)cup(3,infty) e decrescente em (-1,3).
Máximo local em x=-1 com f(-1)=9.
Mínimo local em x=3 com f(3)=-23.

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