Para o estudo de derivadas, explique os teoremas de Rolle, do valor médio, os testes de crescimento e decrescimento, e os testes de primeira e segunda derivada.
Passo 1
Estamos estudando resultados fundamentais que relacionam derivadas e comportamento de funções reais de uma variável. Vamos abordar os seguintes tópicos:
– Teorema de Rolle
– Teorema do Valor Médio
– Teste de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada
– Teste de extremum pela primeira derivada
– Teste de extremum pela segunda derivada
– Teorema de Rolle
– Teorema do Valor Médio
– Teste de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada
– Teste de extremum pela primeira derivada
– Teste de extremum pela segunda derivada
Passo 2
Teorema de Rolle
Para uma função contínua em
, diferenciável em
e tal que
Para uma função
existe ao menos um
satisfazendo
Intuição: se os valores nas extremidades são iguais, o gráfico sai e volta ao mesmo nível, gerando pelo menos um ponto onde a reta tangente é horizontal.
Passo 3
Teorema do Valor Médio
Se é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Se
Geometricamente, a reta tangente em
é paralela à reta secante que liga
a
.
Passo 4
Teste de crescimento e decrescimento
Suponha diferenciável em um intervalo
. Então:
– Se para todo
,
é estritamente crescente em
.
– Se para todo
,
é estritamente decrescente em
.
Ideia: derivada positiva significa que pequenos acréscimos em aumentam
.
Suponha
– Se
– Se
Ideia: derivada positiva significa que pequenos acréscimos em
Passo 5
Teste de extremum pela primeira derivada
Seja um ponto crítico (
ou
indefinida). Então, examinamos o sinal de
em torno de
:
– Se muda de positivo para negativo em
,
tem um máximo local em
.
– Se muda de negativo para positivo em
,
tem um mínimo local em
.
– Se não há mudança de sinal, não há extremo em .
Seja
– Se
– Se
– Se não há mudança de sinal, não há extremo em
Passo 6
Teste de extremum pela segunda derivada
Se e
for duas vezes diferenciável em
, então:
– Se ,
tem um mínimo local em
(concavidade para cima).
– Se ,
tem um máximo local em
(concavidade para baixo).
– Se , o teste é inconclusivo e pode ser necessário examinar derivadas de ordem superior ou o comportamento ao redor.
Se
– Se
– Se
– Se
Resposta
Apresentamos os enunciados e interpretações geométricas do teorema de Rolle e do valor médio, além dos critérios de monotonicidade e dos testes de extrema via primeira e segunda derivada.