Para o estudo de derivadas, explique os teoremas de Rolle, do valor médio, os testes de crescimento e decrescimento, e os testes de primeira e segunda derivada.

Passo 1

Estamos estudando resultados fundamentais que relacionam derivadas e comportamento de funções reais de uma variável. Vamos abordar os seguintes tópicos:
– Teorema de Rolle
– Teorema do Valor Médio
– Teste de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada
– Teste de extremum pela primeira derivada
– Teste de extremum pela segunda derivada

Passo 2

Teorema de Rolle
Para uma função f contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e tal que
f(a)=f(b),
existe ao menos um cin(a,b) satisfazendo
f'(c)=0
Intuição: se os valores nas extremidades são iguais, o gráfico sai e volta ao mesmo nível, gerando pelo menos um ponto onde a reta tangente é horizontal.

Passo 3

Teorema do Valor Médio
Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Geometricamente, a reta tangente em c é paralela à reta secante que liga (a,f(a)) a (b,f(b)).

Passo 4

Teste de crescimento e decrescimento
Suponha f diferenciável em um intervalo I. Então:
– Se f'(x)>0 para todo xin I, f é estritamente crescente em I.
– Se f'(x)<0 para todo xin I, f é estritamente decrescente em I.
Ideia: derivada positiva significa que pequenos acréscimos em x aumentam f(x).

Passo 5

Teste de extremum pela primeira derivada
Seja c um ponto crítico ( f'(c)=0 ou f' indefinida). Então, examinamos o sinal de f' em torno de c:
– Se f' muda de positivo para negativo em c, f tem um máximo local em c.
– Se f' muda de negativo para positivo em c, f tem um mínimo local em c.
– Se não há mudança de sinal, não há extremo em c.

Passo 6

Teste de extremum pela segunda derivada
Se f'(c)=0 e f for duas vezes diferenciável em c, então:
– Se f''(c)>0, f tem um mínimo local em c (concavidade para cima).
– Se f''(c)<0, f tem um máximo local em c (concavidade para baixo).
– Se f''(c)=0, o teste é inconclusivo e pode ser necessário examinar derivadas de ordem superior ou o comportamento ao redor.

Resposta

Apresentamos os enunciados e interpretações geométricas do teorema de Rolle e do valor médio, além dos critérios de monotonicidade e dos testes de extrema via primeira e segunda derivada.

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