Sobre o estudo de derivadas de funções, responda as questões abaixo:
b) Exemplifique, na prática, situações onde os derivadas de funções podem ser aplicadas. Explique.

Passo 1

O item pede para exemplificar situações práticas em que se usa a derivada de uma função. Vamos escolher aplicações em física (cinemática), em economia (otimização de lucro e custo marginal) e em transferência de calor.

Passo 2

Em cinemática, se a posição de um móvel é descrita por s(t), a derivada
v(t) = s'(t)
é a velocidade instantânea, e a segunda derivada
a(t) = v'(t) = s''(t)
é a aceleração. Assim, conhecendo s(t), podemos prever em cada instante quão rápido o objeto se move e com que taxa varia essa velocidade.

Passo 3

Em economia, suponha que o lucro seja dado por
P(x) = R(x) - C(x),
onde R(x) é a receita e C(x) o custo ao produzir x unidades. Para maximizar o lucro, encontramos pontos críticos resolvendo
P'(x) = R'(x) - C'(x) = 0
Verificando o sinal de P''(x), identificamos se é máximo ou mínimo.

Passo 4

Ainda na economia ou administração da produção, define-se o custo marginal como
Cmarginal(x) = C'(x),
que indica o custo adicional para produzir uma unidade extra. Isso ajuda a decidir quantas unidades produzir de modo a minimizar despesas ou maximizar eficiência.

Passo 5

Em processos de transferência de calor, pela lei do resfriamento de Newton, a temperatura T(t) de um corpo obedece
dTdt = T'(t) = -kl(T(t)-Tambr),
onde k>0 é constante e Tamb a temperatura ambiente. A derivada T'(t) dá a taxa instantânea de variação da temperatura do corpo.

Resposta

Em física, a derivada de s(t) fornece a velocidade e a aceleração de um móvel.
Em economia, a condição P'(x)=0 determina o nível de produção que maximiza lucro, e C'(x) é o custo marginal.
Em transferência de calor, T'(t) quantifica a taxa de resfriamento ou aquecimento de um objeto.

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