Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremantes locais da função:
f(x)=\frac{2 x-2}{x^{2}-2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a função
f(x)=\frac{2x-2}{x^{2}-2x+2}
é crescente ou decrescente e localizar os extremos locais. Vamos usar o teste da derivada: calcular f'(x), achar os pontos críticos onde f'(x)=0 e estudar o sinal de f'(x) para concluir monotonicidade e extremos.

Passo 2

Usamos a regra do quociente para obter f'(x). Seja
N(x)=2x-2, \quad D(x)=x^{2}-2x+2.
Então
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^{2}} =\frac{2\,(x^{2}-2x+2)-(2x-2)\,(2x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
2x^{2}-4x+4 -\bigl(4x^{2}-8x+4\bigr) =-2x^{2}+4x =-2x(x-2).
Logo
f'(x)=\frac{-2x(x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é,
-2x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=2.
Não há pontos onde f'(x) deixe de existir, pois x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1>0 para todo x.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x). Como o denominador é sempre positivo, basta o numerador -2x(x-2):
  • Para x<0: x(x-2)>0 e -2x(x-2)<0, logo f'(x)<0 (decrescente).
  • Para 0<x<2: x(x-2)<0 e -2x(x-2)>0, logo f'(x)>0 (crescente).
  • Para x>2: x(x-2)>0 e -2x(x-2)<0, logo f'(x)<0 (decrescente).
Portanto,
f\text{ é crescente em }(0,2), \quad f\text{ é decrescente em }(-\infty,0)\cup(2,\infty).éé

Passo 5

Como em x=0 a derivada muda de negativa para positiva, há um mínimo local em x=0. Calculando
f(0)=\frac{2\cdot0-2}{0^{2}-2\cdot0+2}=-\frac{2}{2}=-1.
Em x=2 a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo local em x=2. Calculando
f(2)=\frac{2\cdot2-2}{2^{2}-2\cdot2+2}=\frac{2}{2}=1.

Resposta

f é decrescente em (-\infty,0) e (2,\infty) e crescente em (0,2).
Há mínimo local f(0)=-1 em x=0 e máximo local f(2)=1 em x=2.

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