Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremantes locais da função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar onde a função
é crescente ou decrescente e localizar os extremos locais. Vamos usar o teste da derivada: calcular
, achar os pontos críticos onde
e estudar o sinal de
para concluir monotonicidade e extremos.
Passo 2
Usamos a regra do quociente para obter
. Seja
Então
Desenvolvendo o numerador:
Logo
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
, isto é,
Não há pontos onde
deixe de existir, pois
para todo
.
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Como o denominador é sempre positivo, basta o numerador
:
- Para
: e , logo (decrescente). - Para
: e , logo (crescente). - Para
: e , logo (decrescente).
Portanto,
Passo 5
Como em
a derivada muda de negativa para positiva, há um mínimo local em
. Calculando
Em
a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo local em
. Calculando
Resposta
f é decrescente em
e
e crescente em
.
Há mínimo local em
e máximo local
em
.
Há mínimo local