Encontre: os intervalos nos quais
é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para a função
: os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade), os intervalos de concavidade para cima e para baixo, as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e os extremos relativos. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
. Usando produto e soma, obtemos
Fatorando o polinômio quadrático:
, logo
Passo 3
Determinar pontos críticos resolvendo
. As raízes são
Passo 4
Analisar o sinal de
em cada intervalo. Através de um quadro de sinais ou avaliando fatores, chega-se a que
-
em , ou seja, crescente nesses intervalos. -
em , ou seja, decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Identificar extremos relativos analisando troca de sinal de
:
- Em
: vai de positivo para negativo ⇒ máximo local em . - Em
: vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local em . - Em
: muda de zero para positivo sem troca de sinal ⇒ sem extremo.
Passo 6
Calcular a derivada segunda
a partir de
:
Passo 7
Determinar pontos de inflexão resolvendo
. As raízes são
Passo 8
Analisar o sinal de
em cada intervalo. Conclui-se que
-
em ⇒ côncavo para baixo. -
em ⇒ côncavo para cima.
Assim, os pontos ondemuda de sinal (inflação de concavidade) são os três valores de acima.
Resposta
Crescente em
; decrescente em
.
Côncavo para cima em ; côncavo para baixo em
.
Pontos de inflexão (valores de ):
.
Extremos relativos: máximo local em , mínimo local em
.
Côncavo para cima em
Pontos de inflexão (valores de
Extremos relativos: máximo local em