Encontre: os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
f(x)=x^3(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar para a função f(x)=x^3(x+1)^2: os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade), os intervalos de concavidade para cima e para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e os extremos relativos. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x). Usando produto e soma, obtemos
f'(x)=5x^4+8x^3+3x^2=x^2(5x^2+8x+3)
Fatorando o polinômio quadrático: 5x^2+8x+3=5(x+1)(x+tfrac35), logo
f'(x)=5x^2(x+1)l(x+tfrac35r)

Passo 3

Determinar pontos críticos resolvendo f'(x)=0. As raízes são
x=0(mu

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo. Através de um quadro de sinais ou avaliando fatores, chega-se a que
  • f'(x)>0 em (-finfty,-1)cup(-tfrac35,infty), ou seja, f crescente nesses intervalos.
  • f'(x)<0 em (-1,-tfrac35), ou seja, f decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Identificar extremos relativos analisando troca de sinal de f'(x):
  • Em x=-1: f' vai de positivo para negativo ⇒ máximo local em x=-1.
  • Em x=-tfrac35: f' vai de negativo para positivo ⇒ mínimo local em x=-tfrac35.
  • Em x=0: f' muda de zero para positivo sem troca de sinal ⇒ sem extremo.

Passo 6

Calcular a derivada segunda f''(x) a partir de f'(x)=5x^4+8x^3+3x^2:
f''(x)=20x^3+24x^2+6x=2xigl(10x^2+12x+3r) 

Passo 7

Determinar pontos de inflexão resolvendo f''(x)=0. As raízes são
x=0, 10x^2+12x+3=0implies x=-12pm2raiz620= -6pmraiz610

Passo 8

Analisar o sinal de f''(x) em cada intervalo. Conclui-se que
  • f''(x)<0 em (-finfty,-tfrac6+raiz610)cup(-tfrac6-raiz610,0) ⇒ côncavo para baixo.
  • f''(x)>0 em (-tfrac6+raiz610,-tfrac6-raiz610)cup(0,infty) ⇒ côncavo para cima.
    Assim, os pontos onde f'' muda de sinal (inflação de concavidade) são os três valores de x acima.

Resposta

Crescente em (-finfty,-1)cup(-tfrac35,infty); decrescente em (-1,-tfrac35).
Côncavo para cima em (-tfrac6+raiz610,-tfrac6-raiz610)cup(0,infty); côncavo para baixo em (-finfty,-tfrac6+raiz610)cup(-tfrac6-raiz610,0).
Pontos de inflexão (valores de x): -tfrac6+raiz610,; -tfrac6-raiz610,;0.
Extremos relativos: máximo local em x=-1, mínimo local em x=-tfrac35.

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