Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
f(x)=x^2 / 3(x-3)

Passo 1

O enunciado pede para achar os intervalos onde a função
f(x)=x^2/3(x-3)
é crescente ou decrescente e, em seguida, determinar os extremos locais. Vamos usar derivação de funções com expoentes racionais e estudar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada usando produto e regra de potência. Escrevendo primeiro
f(x)=x^5/3-3x^2/3,
temos
f'(x)=53x^2/3-3cdot23x^-1/3 =53x^2/3-2x^-1/3
Fatorando x^-1/3,
f'(x)=x^-1/3l(tfrac53x-2r) =tfrac53x-2x^1/3

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou está indefinida.
  1. f'(x)=0 quando tfrac53x-2=0, ou seja x=tfrac65.
  2. f'(x) é indefinida em x=0 pois aparece x^1/3 no denominador.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=l(tfrac53x-2r)/x^1/3:
  • Para x<0: o numerador tfrac53x-2 é negativo e x^1/3 é negativo, logo f'(x)>0.
  • Para 0<x<tfrac65: o numerador é tfrac53x-2<0 e x^1/3>0, logo f'(x)<0.
  • Para x>tfrac65: o numerador é tfrac53x-2>0 e x^1/3>0, logo f'(x)>0.
Assim, f é crescente em (-infty,0) e em l(tfrac65,inftyr), e decrescente em l(0,tfrac65r).

Passo 5

Agora classificamos os extremos:
  • Em x=0 a derivada passa de positiva para negativa, logo há um máximo local.
    f(0)=0^2/3(0-3)=0
  • Em x=tfrac65 a derivada passa de negativa para positiva, logo há um mínimo local.
    fl(tfrac65r) =l(tfrac65r)^2/3l(tfrac65-3r) =-95l(tfrac65r)^2/3

Resposta

A função é crescente em (-infty,0) e em l(tfrac65,inftyr), e decrescente em l(0,tfrac65r).
Há máximo local em l(0,0r) e mínimo local em
l(tfrac65,-tfrac95(tfrac65)^2/3r).

Exercícios relacionados