Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os intervalos onde a função
é crescente ou decrescente e, em seguida, determinar os extremos locais. Vamos usar derivação de funções com expoentes racionais e estudar o sinal de
.
Passo 2
Calculamos a derivada usando produto e regra de potência. Escrevendo primeiro
temos
Fatorando
,
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde
ou está indefinida.
-
quando , ou seja . -
é indefinida em pois aparece no denominador.
Passo 4
Estudamos o sinal de
:
- Para
: o numerador é negativo e é negativo, logo . - Para
: o numerador é e , logo . - Para
: o numerador é e , logo .
Assim,
é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Passo 5
Agora classificamos os extremos:
-
Em
a derivada passa de positiva para negativa, logo há um máximo local. -
Em
a derivada passa de negativa para positiva, logo há um mínimo local.
Resposta
A função é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Há máximo local em e mínimo local em
.
Há máximo local em