Sejam
e
. A função (gof)(x) é contínua? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função composta
é contínua emR . O tema aqui é continuidade e composição de funções.
é contínua em
Passo 2
Mostramos que
f é contínua em todo
x . Note que
é quociente de funções polinomiais e trigonométrica, todas contínuas, e o denominador
x^2+2 nunca zera. Logo,
f é contínua em
R .
Passo 3
Mostramos que
g é contínua em todo
y . Temos
e já se sabe que o valor absoluto é contínuo para todo
yinR .
Passo 4
Como
f é contínua em
R e
g é contínua em
R , a composição
gcirc f também é contínua em
R .
Resposta
Sim. A função
(gcirc f)(x)=lvert f(x)rvert é contínua em todo
R porque composição de funções contínuas é contínua.