Sejam g(x)=|x| e f(x)=x sen xx^2+2. A função (gof)(x) é contínua? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função composta
,(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=l|f(x)r|
é contínua em R. O tema aqui é continuidade e composição de funções.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em todo x. Note que
f(x)=xsin xx^2+2
é quociente de funções polinomiais e trigonométrica, todas contínuas, e o denominador x^2+2 nunca zera. Logo, f é contínua em R.

Passo 3

Mostramos que g é contínua em todo y. Temos
g(y)=|y|,
e já se sabe que o valor absoluto é contínuo para todo yinR.

Passo 4

Como f é contínua em R e g é contínua em R, a composição gcirc f também é contínua em R.

Resposta

Sim. A função (gcirc f)(x)=lvert f(x)rvert é contínua em todo R porque composição de funções contínuas é contínua.

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