Encontre os intervalos em que a função f é crescente ou decrescente
f(x)=x^21+x^2

Passo 1

O problema pede para identificar onde a função f(x)=x^21+x^2 é crescente ou decrescente. Vamos usar o cálculo de derivadas para estudar a monotonicidade dessa função cujo domínio é R.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de f. Para facilitar, podemos escrever f como produto:
f(x)=x^2,(1+x^2)^-1
Aplicando a regra do produto e a cadeia, obtemos
f'(x)=2x,(1+x^2)^-1+x^2l(-1r)(1+x^2)^-2cdot2x =2x+2x^3-2x^3(1+x^2)^2 =2x(1+x^2)^2

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x)=tfrac2x(1+x^2)^2. O denominador (1+x^2)^2 é sempre positivo para todo x, então o sinal da derivada coincide com o sinal de 2x, isto é, com o sinal de x.

Passo 4

Concluímos: quando x<0, temos f'(x)<0 e a função é decrescente; quando x>0, temos f'(x)>0 e a função é crescente. Não há outros pontos críticos além de x=0, onde f'(0)=0.

Resposta

A função é decrescente em (-∞,0) e crescente em (0,∞).

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