contido (-infinito,infinito)
Ache a solução Geral
Ache a solução Geral
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Estamos no tema de EDOs lineares, e para resolver precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea. Consideramos
e montamos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo essa equação de segundo grau pelo discriminante:
, logo as raízes são
$$r = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}.
$$
Passo 4
Assim a solução da homogênea é
$$y_h(x) = C_1 e^{(-2+\sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{6})x}.
$$
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, assumimos
$$y_p(x) = ax^2 + bx + c.
$$
Passo 6
Calculamos as derivadas:
e
. Substituindo na equação original:
$$y_p’’ + 4y_p’ - 2y_p = 2a + 4(2ax + b) - 2(ax^2 + bx + c).
$$
Passo 7
Expandindo e agrupando coeficientes de potências de
:
$$-2a,x^2 + (8a - 2b),x + (2a + 4b - 2c) = 3x^2 - 4x + 2.
$$
Passo 8
Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
Passo 9
Resolvendo:
; substituindo em
dá
então
; e em
dá
então
. Portanto a parte particular é
$$y_p(x) = -\tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma de
e
.
Resposta
$$y(x) = C_1 e^{(-2 + \sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2 - \sqrt{6})x} - \tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$