y^prime prime+4 y^prime-2 y=3 x^wed>= 2-4 x+2, x contido (-infinito,infinito)
Ache a solução Geral

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + 4y' - 2y = 3x^2 - 4x + 2. Estamos no tema de EDOs lineares, e para resolver precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea. Consideramos yh'' + 4yh' - 2yh = 0 e montamos a equação característica associada:
r^2 + 4r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação de segundo grau pelo discriminante: De, logo as raízes são
$$r = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}.
$$

Passo 4

Assim a solução da homogênea é
$$y_h(x) = C_1 e^{(-2+\sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{6})x}.
$$

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular yp(x). Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, assumimos
$$y_p(x) = ax^2 + bx + c.
$$

Passo 6

Calculamos as derivadas: yp' = 2ax + b e yp'' = 2a. Substituindo na equação original:
$$y_p’’ + 4y_p’ - 2y_p = 2a + 4(2ax + b) - 2(ax^2 + bx + c).
$$

Passo 7

Expandindo e agrupando coeficientes de potências de x:
$$-2a,x^2 + (8a - 2b),x + (2a + 4b - 2c) = 3x^2 - 4x + 2.
$$

Passo 8

Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
-2a = 3, 8a - 2b = -4, 2a + 4b - 2c = 2

Passo 9

Resolvendo: a = -3/2; substituindo em 8a - 2b = -4 -12 - 2b = -4 então b = -4; e em 2a + 4b - 2c = 2 -3 - 16 - 2c = 2 então c = -21/2. Portanto a parte particular é
$$y_p(x) = -\tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma de yh e yp.

Resposta

$$y(x) = C_1 e^{(-2 + \sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2 - \sqrt{6})x} - \tfrac{3}{2}x^2 - 4x - \tfrac{21}{2}.
$$

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