Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla iterada
. O conteúdo envolve integração de uma função polinomial em três variáveis, seguindo a ordem
, depois
e por fim
.
Passo 2
Vamos primeiro integrar em relação a
. Precisamos calcular
Como
$$
\int_{0}^{x+y}(x+y+z),dz
= \int_{0}^{x+y}(x+y),dz + \int_{0}^{x+y}z,dz
= (x+y)\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} + \Bigl[\tfrac{z{2}}{2}\Bigr]_{0}{x+y}
= (x+y)^{2} + \tfrac{(x+y)^{2}}{2}
= \tfrac{3}{2}(x+y)^{2}.
= \int_{0}^{x+y}(x+y),dz + \int_{0}^{x+y}z,dz
= (x+y)\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} + \Bigl[\tfrac{z{2}}{2}\Bigr]_{0}{x+y}
= (x+y)^{2} + \tfrac{(x+y)^{2}}{2}
= \tfrac{3}{2}(x+y)^{2}.
$$
Passo 3
Substituindo esse resultado na integral original, reduzimos para
$$\n \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \tfrac{3}{2}(x+y)^{2},dy,dx.
$$
Passo 4
Por fim, resta integrar em relação a
:
$$\n \int_{0}{1}\tfrac{7}{2}x{3},dx = \tfrac{7}{2} \cdot \Bigl[\tfrac{x{4}}{4}\Bigr]_{0}{1} = \tfrac{7}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{8}.
$$