Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^x integral0^x+y(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla iterada integral0^1 integral0^x integral0^x+y(x+y+z),dz,dy,dx. O conteúdo envolve integração de uma função polinomial em três variáveis, seguindo a ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em relação a z. Precisamos calcular

Como n integral0^x+y(x+y+z),dzn é constante em relação a x+y,
$$
\int_{0}^{x+y}(x+y+z),dz
= \int_{0}^{x+y}(x+y),dz + \int_{0}^{x+y}z,dz
= (x+y)\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} + \Bigl[\tfrac{z{2}}{2}\Bigr]_{0}{x+y}
= (x+y)^{2} + \tfrac{(x+y)^{2}}{2}
= \tfrac{3}{2}(x+y)^{2}.
$$

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral original, reduzimos para
$$\n \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \tfrac{3}{2}(x+y)^{2},dy,dx.
n integral0^1 integral0^x tfrac32(x+y)^2,dy,dx çãçã\n \int_{0}{x}(x+y){2},dy = \int_{u=x}{2x}u{2},du = \Bigl[\tfrac{u{3}}{3}\Bigr]_{u=x}{2x} = \tfrac{(2x)^{3} - x^{3}}{3} = \tfrac{8x^{3} - x^{3}}{3} = \tfrac{7x^{3}}{3}.
y\n \int_{0}{x}\tfrac{3}{2}(x+y){2},dy = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{7x^{3}}{3} = \tfrac{7}{2}x^{3}.
$$

Passo 4

Por fim, resta integrar em relação a x:
$$\n \int_{0}{1}\tfrac{7}{2}x{3},dx = \tfrac{7}{2} \cdot \Bigl[\tfrac{x{4}}{4}\Bigr]_{0}{1} = \tfrac{7}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{8}.
$$

Resposta

tfrac78

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